덕진동 중등수학과외

“(2x−9)².” 학생이 새 적용 문제의 답안 칸에 먼저 적은 식이다. 교사는 곧바로 정답 여부를 말하지 않고, 9²이 원래 상수 9인지 물었다. 이 질문은 인수분해 결과를 직접 만들어 내는 대신, 두 식 중 어떤 식이 (2x+3)²과 같은지 고르는 상황에서 출발한다. 학생은 상수 9와 괄호 안의 수 9를 같은 것으로 보았는지, 아니면 가운데 항의 부호와 계수까지 확인했는지 말로 설명해야 했다.

두 식 중 가운데 항까지 대조하기

비교할 식은 4x²+12x+9와 4x²+9이다. 덕진동중등수학과외 수업에서는 학생이 먼저 (2x+3)²을 전개해 두 식과 나란히 놓도록 했다. 학생은 제곱식을 전개하며 (2x)²=4x², 2·2x·3=12x, 3²=9를 적었다. 따라서 (2x+3)²=4x²+12x+9이고, 첫 번째 식과 일치한다. 두 번째 식은 4x²과 9만 있고 교차 항 12x가 빠져 있으므로 같은 식으로 고를 수 없다.

이 과정에서 첫 답안 “(2x−9)²”를 곧바로 개념을 모른다는 뜻으로 정하지 않았다. 학생이 4x²을 (2x)²으로 읽는지, 가운데 항의 부호를 확인하는지, 상수항을 괄호 안에 어떤 수로 옮기는지를 나누어 물었다. 교사는 “9²이 원래 상수 9야?”라고 짧게 확인했다. 학생이 9²이라고 답하면 괄호 안의 수와 원래 상수항을 혼동한 것이고, 기준은 말하지만 식만 잘못 썼다면 계산 과정을 한 줄씩 확인하기로 했다.

4x²−12x+9에서 빠진 제곱근 찾기

이제 문제를 분명히 제시했다. 4x²−12x+9를 인수분해하라. 학생은 처음에 (2x−9)²이라고 썼다. 4x²을 (2x)²으로 처리한 부분은 맞지만, 상수 9를 괄호 안에 그대로 넣은 지점에서 판단이 달라졌다. 교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “상수 9를 제곱해서 만드는 일차식의 상수는 얼마일까?”라고 물었다.

학생이 바로 결정하지 못하자 교사는 한 단계만 대조해 보였다. 4x²=(2x)², 9=3²이고, 가운데 항은 −2·2x·3=−12x이다. 상수 9를 만드는 일차식의 상수는 9가 아니라 3이라는 관계만 설명한 뒤, 괄호 안에 들어갈 수는 학생이 직접 정하게 했다. 학생은 상수항의 제곱근 3을 괄호 안에 넣고 다음처럼 다시 적었다.

4x²=(2x)², 9=3², −12x=−2·2x·3
따라서 4x²−12x+9=(2x−3)²이다.

전개로 세 항을 따로 확인하기

수정한 식은 처음 답안과 괄호 안의 상수가 다르다. 처음에는 9를 그대로 넣어 상수항을 제곱하면 81이 되었지만, 수정 풀이에서는 3을 넣어 3²=9가 되도록 했다. 검산은 같은 인수분해 절차를 반복하지 않고 전개로 진행했다. (2x−3)²=(2x)²−2·2x·3+3²=4x²−12x+9이므로 최고차항 4x², 가운데 항 −12x, 상수항 9가 모두 원래 식과 맞는다. 세 항을 각각 표시하게 하여 답만 맞힌 것이 아니라 조건 대조가 되었는지 확인했다.

도움을 줄인 뒤 스스로 고르는 기준

다음에는 같은 대표 문제를 문제와 조건만 남긴 채 다시 제시하고, 오답과 수정 풀이와 정답은 가린다. 학생은 먼저 4x²을 어떤 제곱으로 볼지 적고, 상수 9의 제곱근을 괄호 안에 넣은 뒤 가운데 항의 부호와 계수를 확인해야 한다. 교사는 “상수 9를 만드는 수는?”이라는 한 관계만 되짚고 다음 줄은 학생이 결정하게 한다. 이후 4x²+12x+9와 4x²+9 중 (2x+3)²과 같은 식을 고르는 문제를 다시 제시한다. 학생이 두 식을 전개해 가운데 항 12x의 유무까지 스스로 표시하는지, 상수항의 제곱근을 3으로 선택하는 근거를 식으로 남기는지를 확인한다.