덕진동 고등수학과외

지수·로그함수의 극한과 미분을 다룰 때 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 맞혔는지보다 식의 의미와 조건을 함께 확인한다. 예를 들어 x>0에서 f(x)=log₂x의 도함수를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면, 학생의 풀이에는 1/x가 적혀 있을 수 있다. 이 결과와 정확한 검산 결과를 나란히 놓고 “log₂x를 자연로그로 바꾸면 어떤 상수가 남는가?”를 먼저 묻는다.

1/x가 나온 지점을 자연로그와 비교하기

1/x는 ln x의 도함수이므로, log₂x를 ln x와 같은 식으로 본 것인지 확인해야 한다. 다만 오답 하나만으로 원인을 확정하지는 않는다. 학생에게 log₂x의 밑과 x의 역할을 각각 표시하게 하고, 로그의 정의역이 x>0임을 직접 적게 한다. 이어 지수함수와 거듭제곱함수의 미분을 혼동했는지, 밑에 따른 계수를 놓쳤는지 질문한다. eˣ의 도함수는 eˣ이고, aˣ의 도함수는 aˣln a이지만, 지금은 로그함수의 밑 변환이 먼저라는 점을 식으로 구별한다.

밑 변환 뒤 상수를 남겨 직접 수정하기

교사는 log₂x=ln x/ln2까지만 제시하고 다음 줄은 학생이 잇게 한다. ln2는 x에 의존하지 않는 상수이므로 f′(x)=1/(x ln2)라고 정리한다. 학생이 직접 쓴 수정 풀이가 이 형태라면, x>0 조건도 답 옆에 함께 남긴다. 1/x와 달라진 이유는 ln x를 미분한 뒤에도 1/ln2가 사라지지 않기 때문이다. ln2>0이고 x>0이므로 도함수는 정의역 전체에서 양수다. 따라서 임의의 두 점 사이에서 평균값정리를 적용하면 f는 x>0에서 엄격히 증가한다. 단순히 도함수가 0이 아니라는 사실만으로 판단한 것이 아니라, 모든 정의역에서의 부호와 구간의 성질을 확인한 결과다.

밑을 바꾼 식으로 조건과 부호 다시 대조하기

같은 풀이 구조를 유지하되 밑을 0과 1 사이로 바꾸면 조건 자체가 달라진다. 문제는 x>0에서 f(x)=log₁⁄₂x의 도함수와 증가·감소를 구하는 것이다. log₁⁄₂x=ln x/ln(1/2)=-ln x/ln2이므로 f′(x)=-1/(x ln2)이다. x>0, ln2>0이어서 도함수는 정의역 전체에서 음수이고, 평균값정리에 따라 f는 엄격히 감소한다. 이는 밑이 1보다 작은 로그함수의 성질과도 일치한다. 표현만 자연로그로 바꾼 첫 문제와 달리 밑을 2에서 1/2로 바꾼 것은 실제 조건 변경이므로 부호까지 다시 판단해야 한다. 마지막에는 문제와 x>0이라는 필수 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 두 식을 다시 풀게 한다. 학생이 문자 x가 밑인지 지수인지 먼저 구분하고, 계산 결과와 성립 조건을 각각 적은 뒤 도함수의 부호를 대조하면 다음 학습에서도 같은 오류를 스스로 걸러낼 수 있다.