만성동 중등수학과외

“앞면이 적어도 한 번 나오는 경우를 찾을 때, 전체 결과를 먼저 만든 뒤 성공 개수를 세어야 하는 이유는 무엇일까?” 교사는 학생에게 이렇게 묻고, 공정한 동전을 독립적으로 두 번 던지는 새 문제를 제시했다. 이번 조건은 앞면이 정확히 한 번이 아니라 적어도 한 번 나오는 경우다. 학생은 동전 두 번의 순서를 빠뜨리지 않기 위해 가능한 결과를 직접 적기로 했다.

네 가지 순서에서 새로 포함되는 결과

학생은 두 번의 결과를 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤로 나열했다. “적어도 한 번”이라는 말에 밑줄을 긋고, 앞면이 한 번 이상 있는 앞앞·앞뒤·뒤앞을 성공으로 표시했다. 뒤뒤만 조건을 만족하지 않으므로 성공한 결과는 세 가지, 전체 결과는 네 가지다. 따라서 학생은 3/4라고 답했다. 교사는 “앞앞이 왜 포함되었지?”라고 물었고, 학생은 “앞면이 두 번이어도 한 번 이상이라는 조건에는 들어갑니다”라고 설명했다. 이 장면에서 단순히 숫자를 바꾸는 것이 아니라, ‘정확히’와 ‘적어도’가 결과를 선택하는 기준을 바꾼다는 점을 확인했다.

이제 교사는 조건을 원래 문항으로 되돌렸다. 공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던질 때, 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하는 문제다. 학생은 처음에 앞면 확률을 한 번씩 더해 1/2+1/2=1이라고 적었다. 교사는 곧바로 풀이 전체를 고쳐 주지 않고 “두 번 앞면인 경우와 뒤뒤의 경우가 어디로 갔지?”라고 물었다. 학생은 말로는 네 결과를 알고 있다고 했지만, 종이에는 그 순서가 나타나지 않았다. 교사는 설명과 첫 계산을 나란히 놓고, 학생이 결과를 몰라서인지 조건에 맞는 결과를 고르지 않아서인지 확인했다. 두 번의 결과를 목록으로 만들지 않은 지점에서 판단이 달라졌다는 것을 좁혀 갔다.

앞면이 정확히 한 번인 결과 세기

교사는 “각 시행 확률을 바로 더하면 정확히 한 번이라는 조건을 반영하지 못한다”는 설명까지만 제공했다. 이어서 네 칸을 그려 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤를 적는 한 단계만 시범으로 보였다. 이후 학생이 직접 전체 결과를 완성했다. 학생은 같은 가능성의 결과가 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지라고 쓰고, 정확히 한 번 앞면인 성공 결과에 앞뒤와 뒤앞을 표시했다. 그런 다음 성공한 두 가지를 전체 네 가지로 나누어 2/4=1/2라고 다시 작성했다.

처음 풀이와 달라진 점은 앞면 확률 두 개를 바로 더한 것이 아니라, 두 시행의 순서를 먼저 펼친 뒤 조건에 맞는 결과만 센 것이다. 교사는 학생에게 “앞앞은 왜 제외했어?”라고 물었고, 학생은 “앞면이 두 번이라 정확히 한 번이 아니기 때문입니다”라고 답했다. 뒤뒤는 앞면이 없어서 제외된다는 설명도 덧붙였다. 이처럼 결과를 먼저 만들면 ‘정확히 한 번’과 ‘적어도 한 번’에서 포함되는 경우가 달라지는 이유를 식과 말로 함께 확인할 수 있다.

곱셈으로 확인하는 별도 검산

정답을 같은 방식으로 반복하지 않기 위해 교사는 각 성공 경로의 확률을 따로 계산하게 했다. 앞뒤가 나올 확률은 첫 번째 앞면과 두 번째 뒷면이므로 (1/2)(1/2)=1/4이다. 순서가 바뀐 뒤앞도 (1/2)(1/2)=1/4이다. 두 경로는 서로 겹치지 않으므로 합하면 1/4+1/4=1/2가 된다. 학생은 전체 결과를 세어 얻은 2/4와 경로별 곱셈으로 얻은 1/2가 같은지 확인하고, 원래 조건인 ‘정확히 한 번’을 만족하는지 다시 말로 검산했다.

다음에는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 제시한다. 학생은 도움 없이 앞앞·앞뒤·뒤앞·뒤뒤를 먼저 적고, 정확히 한 번인 결과에 표시한 뒤 확률을 계산해야 한다. 이어서 공정한 동전을 두 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나오는 문제에서는 앞앞이 새로 포함되는 이유와 3/4라는 답을 설명하게 한다. 교사는 학생이 정답만 적는지보다, 전체 결과를 먼저 만든 뒤 성공 개수를 센다는 선택의 근거를 혼자 말하고, 앞뒤와 뒤앞의 검산으로 조건을 확인하는지를 기록한다.