여의동 중등수학과외

학생은 공정한 동전 한 개와 주사위 한 개를 독립적으로 던질 때, “앞면이거나 주사위가 짝수일 확률”을 묻는 문제를 먼저 만났다. 여의동중등수학과외 수업에서는 답을 바로 고치기보다, 두 시행의 결과를 어떻게 세었는지 말과 식으로 함께 확인했다. 교사가 “앞면 6개와 짝수 6개를 그냥 더해도 될까?”라고 묻자 학생은 앞면 결과마다 주사위 결과가 여섯 개씩 붙는다는 구조를 떠올리기 시작했다.

‘또는’ 조건에서 겹치는 결과 확인하기

학생은 앞면인 경우를 주사위 1부터 6까지 여섯 개로 세고, 주사위가 짝수인 경우를 동전의 앞면과 뒤면 각각 세 개씩 세어 모두 열두 개라고 적었다. 그러나 이때 앞면이면서 주사위가 짝수인 세 결과가 두 번 들어간다. 따라서 성공 결과는 앞면 6개 + 짝수 6개 − 공통인 3개 = 9개이다.

교사는 “앞면과 짝수가 동시에 되는 결과를 표시해 보자”라고 짧게 요청했다. 학생은 (앞,2), (앞,4), (앞,6)에 동그라미를 치고, 이미 센 결과를 다시 세지 않아야 한다고 설명했다. 교사는 ‘또는’이라는 말이 두 조건 중 하나 이상을 뜻하며, 겹치는 결과는 한 번만 세야 한다는 점까지만 정리하고 나머지 계산은 학생에게 맡겼다.

비교할 대표 문제에서 전체 경우를 곱으로 세기

이제 조건을 “동전은 앞면이고 주사위는 짝수”로 바꾼 문제를 제시했다. 학생의 처음 풀이에는 “전체=2+6=8이므로 3/8”이라고 적혀 있었다. 앞면과 주사위의 짝수 결과 세 개를 성공으로 찾은 부분은 맞았지만, 두 시행의 전체 결과를 더한 판단에서 달라졌다.

교사는 “동전 앞면마다 주사위 결과가 여섯 개씩 붙나요?”라고 물었다. 학생이 동전 결과 하나마다 주사위 여섯 결과가 짝지어진다고 답하자, 교사는 한 단계만 시범으로 보였다. 전체 결과는 2×6=12개이다. 그 뒤 학생은 직접 전체 결과를 세고, 성공 결과를 (앞,2), (앞,4), (앞,6)으로 적었다. 수정한 식은 3/12=1/4였으며, 처음의 2+6을 2×6으로 바꾼 점이 핵심이었다.

계산을 반복하지 않는 검산과 다음 행동

같은 3/12를 다시 계산하는 대신, 독립 시행의 확률을 곱해 검산했다. 동전이 앞면일 확률은 1/2이고 주사위가 짝수일 확률은 3/6이므로 (1/2)×(3/6)=1/4이다. 경우를 세어 얻은 답과 곱셈으로 확인한 답이 일치하므로 수정된 풀이의 방향을 확인할 수 있다. 이 검산은 처음 풀이의 3/8을 단순히 다른 모양으로 반복한 것이 아니라, 두 독립 시행의 확률 관계를 이용한 확인이다.

다음에는 도움을 줄인 상태에서 처음 제시한 ‘앞면이거나 주사위가 짝수’ 문제를 다시 풀게 한다. 학생은 대표 문제의 오답과 수정 답을 가린 채, 동전 결과와 주사위 결과를 짝지어 전체 2×6=12개를 세고, 앞면 6개와 짝수 6개에서 공통인 3개를 한 번만 빼야 한다. 최종 답은 9/12=3/4이다. 실패한 경우가 뒤면이면서 홀수인 세 결과이므로 1−3/12=3/4라고 확인하는지도 관찰한다. 교사는 학생이 전체 경우를 곱으로 센 이유를 도움 없이 말하고, ‘또는’ 조건에서 겹친 성공 결과를 표시한 뒤 한 번만 세는지를 근거로 기록한다.