금암동 중등수학과외

“정확히 16000원을 쓰는 경우도 살 수 있는 걸까요?” 교사는 금암동중등수학과외 수업에서 공책 구매 문제를 꺼내기 전에 이렇게 물었다. 학생이 문장 속 포함 조건을 부등호에 반영해야 하는 이유를 먼저 말해 보게 하려는 장면이다. 학생은 “이하라면 기준 금액과 같아도 괜찮습니다”라고 답했지만, 그 말을 식으로 옮길 때 어떤 기호를 선택할지는 아직 확인하지 않았다. 교사는 곧바로 계산을 대신하지 않고, “같은 금액을 허용한다면 부등호의 어느 쪽이 열려 있어야 할까?”라고 짧게 물었다.

2500원 배송료와 공책 가격을 식으로 나타내기

제시된 문제는 고정 배송료가 2500원이고 공책 한 권이 1800원일 때, 총액이 16000원 이하가 되도록 살 수 있는 공책의 최대 권수를 구하는 것이다. 학생은 공책 권수를 n으로 두고, 배송료와 공책 값을 합쳐야 한다는 점은 맞게 파악했다. 따라서 총액을 1800n+2500으로 나타낸 판단은 적절했다. 또 권수는 물건의 개수이므로 n은 0 이상의 정수라는 조건도 함께 확인할 필요가 있다.

다만 학생이 처음 적은 식은 1800n+2500<16000이었다. 교사는 이 한 줄만 보고 원인을 “부등식을 모른다”라고 정하지 않았다. 먼저 학생에게 “16000원을 정확히 쓰는 경우, 문제의 조건에 들어가나요?”라고 다시 물었다. 학생이 “이하이므로 들어갑니다”라고 말한 뒤에도 실제 식에는 <가 남아 있었다. 이때 말로 조건을 구분하는지, 계산 줄에 그 구분을 반영하는지를 나누어 확인할 수 있었다.

‘이하’의 포함 조건을 ≤로 고쳐 쓰는 과정

교사는 필요한 설명을 한 단계만 제공했다. “이하는 같은 값도 허용하므로 ≤다.” 그리고 처음 적은 식과 문제의 문장을 나란히 놓고, 학생이 직접 기호를 바꾸게 했다. 학생은 배송료 2500원과 공책 n권의 값 1800n을 합친 뒤 다음과 같이 다시 썼다.

n은 0 이상의 정수이다.
1800n+2500≤16000
1800n≤13500
n≤7.5

그다음 학생은 n이 정수라는 조건을 놓치지 않고 7.5보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 수를 선택해 최대 7권이라고 답했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 배송료를 계산한 방식이 아니라, ‘이하’라는 포함 조건을 <가 아닌 ≤로 옮긴 판단이었다. 교사는 나머지 계산을 대신 완성하지 않고, 학생이 각 줄의 의미를 직접 말하도록 했다. 학생은 “권수는 소수로 살 수 없으므로 7.5가 아니라 그보다 작은 정수 중 가장 큰 7을 택한다”고 설명했다.

7권과 8권을 비교하는 다른 방식의 검산

수식 변형을 그대로 반복하는 대신, 학생은 실제 금액을 대조해 답을 확인했다. 7권을 사면 2500+1800×7=15100원으로 16000원 안에 들어온다. 8권을 사면 2500+1800×8=16900원으로 예산을 넘는다. 따라서 7권은 조건을 만족하고 8권은 만족하지 않으므로, 7권보다 많은 권수는 살 수 없다는 점이 드러난다. 이 검산은 단순히 같은 부등식을 다시 계산한 것이 아니라, 선택한 정수와 바로 다음 정수를 비교해 ‘최대’라는 말까지 확인한 것이다.

이제 조건을 반대로 바꾼 문제를 제시했다. 지금 2500원을 가지고 있고 공책 한 권을 팔 때마다 1800원을 받는다면, 총액을 16000원 이상으로 만들기 위해 최소 몇 권을 팔아야 하는지 묻는 문제다. 학생은 먼저 “이상은 16000원과 같아도 허용되므로 ≥”라고 말한 뒤, 2500+1800n≥16000을 세워야 한다. 정리하면 1800n≥13500, 따라서 n≥7.5이다. n은 0 이상의 정수이므로 최소 8권이다. 7권이면 15100원으로 부족하고 8권이면 16900원으로 조건을 만족한다. 구매 문제에서는 예산 상한 안에서 최대 정수를 골랐지만, 판매 문제에서는 목표 하한을 넘는 최소 정수를 골랐다는 차이가 있다.

다음 문제에서는 기존 오답과 풀이를 가리고, “공책 한 권을 사는 데 1700원, 배송료 2300원, 총액 12500원 이하”라는 바뀐 조건만 제시한다. 학생이 정확히 같은 금액도 허용되는지 먼저 판단하고, 그 이유를 말한 뒤 ≤를 직접 적는지 확인한다. 이어 부등식을 풀고 정수 권수를 선택하며, 선택한 수와 바로 다음 수의 실제 금액을 비교해 최대라는 근거까지 남기는지를 교사가 관찰한다.