동면 중등수학과외

“자료는 두 개다.” 중1 자료의 정리와 해석 문제를 풀던 학생이 적어 둔 첫 답안이었다. 문제에는 줄기 1의 잎이 2, 5, 5이고 줄기 2의 잎이 0, 3이라고 제시되어 있었다. 또 ‘1|2는 12’를 뜻한다고 했으므로 줄기는 십의 자리, 잎은 일의 자리로 읽어야 한다. 동면중등수학과외 수업에서는 정답부터 고치지 않고, 학생이 어느 조건을 세는 과정에서 판단을 바꾸었는지 확인했다.

“자료는 두 개다”라는 답에서 확인한 첫 판단

교사는 학생에게 짧게 물었다. “줄기 1 옆의 잎 세 개는 관측값 몇 개를 뜻할까?” 학생은 처음에는 줄기 1과 줄기 2를 각각 하나의 묶음으로 보고, 줄기의 개수를 자료 수로 세었다. 그러나 줄기 1 옆의 2, 5, 5는 각각 하나의 자료를 나타낸다. 줄기 2 옆의 0, 3도 각각 하나의 자료다. 따라서 문제에서 확인할 판단 지점은 줄기의 수가 아니라 잎 하나가 자료 한 개에 대응한다는 관계였다.

이때 말로 설명하는 기준과 실제로 적은 계산이 같은지도 대조했다. 학생이 “잎마다 자료가 있다”고 말하면서도 답안에는 줄기 두 개만 적었다면, 개념 설명과 옮겨 쓰는 과정 중 어디에서 어긋났는지 따로 확인할 수 있다. 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고, 줄기 1의 잎 세 개를 손가락으로 짚으며 몇 개의 관측값인지 직접 세게 했다.

잎의 총수로 자료를 다시 만들기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 제시했다. “자료 한 개마다 잎 하나가 있으니 잎의 총수를 세어 보자.” 학생은 줄기 수가 아니라 잎의 개수를 세어 2, 5, 5, 0, 3의 다섯 개임을 적었다. 그다음 범례에 맞춰 줄기와 잎을 결합했다. 줄기 1의 잎 2는 12, 잎 5는 각각 15와 15가 되고, 줄기 2의 잎 0과 3은 20과 23이 된다.

학생이 직접 고쳐 쓴 식은 자료: 12, 15, 15, 20, 23이었다. 따라서 자료의 개수는 5, 최솟값은 12, 최댓값은 23이다. 처음 풀이에서는 줄기 1과 줄기 2를 자료 두 개로 셌지만, 수정 풀이에서는 잎을 하나씩 자료로 세고 각 잎의 자리값을 적용했다. 계산 전에 “줄기 수가 아니라 잎의 개수”라고 적은 점도 처음 답안과 달라진 부분이다.

검산은 같은 개수를 다시 말하는 데서 끝내지 않았다. 학생은 12, 15, 15를 줄기 1에, 20, 23을 줄기 2에 다시 배치해 원래의 줄기와 잎 모양이 복원되는지 확인했다. 다섯 값이 모두 돌아가고 잎 2, 5, 5, 0, 3도 빠짐없이 사용되므로 자료 수와 최솟값, 최댓값이 조건과 맞는지 대조할 수 있다.

자리값 범례가 바뀐 문제에 원리 적용하기

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 ‘1｜5가 1.5’를 뜻하므로 줄기는 일의 자리, 잎은 소수 첫째 자리다. 줄기 1의 잎이 0, 5, 5이고 줄기 2의 잎이 0일 때, 학생은 먼저 네 잎을 모두 사용해 자료를 1.0, 1.5, 1.5, 2.0으로 바꾸었다. 줄기와 잎의 자리값은 달라졌지만, 잎 하나가 자료 한 개라는 원리는 그대로 유지된다.

자료가 네 개이므로 가운데 두 값은 1.5와 1.5이다. 학생은 중앙값=(1.5+1.5)÷2=1.5라고 적었다. 검산할 때는 십의 자리와 일의 자리로 읽지 않고, 바뀐 범례대로 줄기는 일의 자리, 잎은 소수 첫째 자리인지 확인했다. 다음 수업에서는 대표 문제의 자료를 그대로 제시하되 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생이 도움 없이 잎의 총수를 먼저 세고, 줄기와 잎의 자리값을 적용한 뒤, 다섯 값을 원래 줄기 1과 2에 다시 넣어 복원되는지 설명하는지를 확인한다.