석사동 중등수학과외

반지름 7cm에서 빗변을 찾는 질문

수업은 직각삼각형의 외접원 반지름이 7cm일 때 빗변의 길이를 구하는 문제로 시작했다. 교사는 학생에게 곧바로 계산하지 말고 먼저 “7cm는 어디까지의 거리일까?”라고 물었다. 학생은 외심에서 꼭짓점까지의 거리라고 표시한 뒤, 빗변과 원의 관계를 그림에 나타내려 했다. 이 장면에서 중요한 것은 빗변에서 반지름을 구하는 익숙한 방향을 그대로 반복하지 않고, 반지름에서 빗변을 찾는 방향으로 바꾸는 일이다.

석사동중등수학과외 수업에서는 학생이 길이 자체보다 그 길이가 연결된 대상을 먼저 표시하는지 확인한다. 학생은 외접원의 중심에서 원 위의 꼭짓점까지의 선분 두 개를 그리고 각각 7cm라고 적었다. 교사는 “빗변의 양 끝점은 원에서 어떤 위치에 있지?”라고 다시 물었다. 학생이 두 끝점이 원 위에 있고 빗변이 중심을 지나는 지름이라는 점을 말하면, 빗변의 길이를 반지름 두 개의 합으로 바꾸어 쓸 수 있다.

O에서 세 변까지 5cm라는 풀이를 다시 보기

그다음 ∠A=90°인 삼각형 ABC에서 BC=10cm이고, BC의 중점을 O라 할 때 OA, OB, OC를 구하는 문제를 제시했다. 학생은 처음에 “O에서 세 변까지 거리가 모두 5cm다.”라고 작성했다. BC의 중점을 찾고 10÷2=5라고 계산한 부분은 맞았다. 그러나 그 5cm를 O에서 세 변까지의 거리라고 적은 순간, 꼭짓점까지의 거리와 변까지의 거리가 섞였다.

교사는 오답만 보고 원인을 단정하지 않고 짧게 확인했다. “O가 BC 위에 있는데, O에서 BC까지의 거리가 5cm일까?” 학생은 O가 BC 위에 있으므로 그 거리는 0cm라고 답했지만, OA와 OC까지 같은 5cm가 되는 이유를 바로 설명하지는 못했다. 이때 질문에서 거리의 기준을 고르지 못했다면 외심의 뜻을 다시 확인하고, 기준은 맞게 말하면서 결과만 달랐다면 중점 계산과 식을 한 줄씩 살핀다.

꼭짓점까지의 거리로 수정하기

교사는 필요한 만큼만 설명했다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이며, 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같다. 반면 변까지의 거리는 별개의 거리이다. 교사는 원의 중심 O와 A, B, C를 잇는 선분을 가리키며 “지금 묻는 대상은 꼭짓점일까, 변일까?”라고 물었다. 학생은 문제의 기호를 다시 읽고 O에서 B와 C까지는 BC 위의 두 선분이라는 점을 표시했다.

학생은 먼저 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.라고 적었다. 이어 BC=10cm이므로 OB=OC=BC/2=10/2=5cm라고 썼다. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 OA=OB=OC=5cm라고 완성했다. 처음 풀이와 달라진 점은 5cm를 ‘세 변까지의 거리’라고 표현하지 않고, O에서 A, B, C라는 꼭짓점까지의 거리로 정확히 지정한 것이다. 교사는 답을 가린 대표 문제를 다시 제시했을 때 학생이 이 구분을 스스로 적는지 확인한다.

원 위의 점과 지름으로 검산하기

계산을 같은 방식으로 반복하지 않고 그림의 관계로 검산했다. OB=OC=BC/2=5cm이고, A·B·C 세 꼭짓점은 O를 중심으로 반지름 5cm인 원 위에 있어야 한다. 따라서 OA도 5cm가 된다. 동시에 BC는 그 원의 중심 O를 지나는 현이므로 지름이고, 지름의 길이는 반지름의 두 배인 10cm이다. 이 확인은 ‘변까지의 거리’를 5cm라고 잘못 부른 것이 아니라, 세 꼭짓점까지의 반지름을 구한 것임을 보여 준다.

처음의 새 문제로 돌아가면 외접원 반지름은 7cm이고, 직각삼각형의 빗변은 외접원의 지름이다. 따라서 빗변은 7+7=14cm이다. 검산할 때는 빗변의 중점에서 양 끝점까지의 거리가 각각 반지름 7cm인지 확인한다. 다음 문제에서는 학생이 반지름 6cm인 직각삼각형의 빗변을 스스로 구하고, 먼저 ‘어디까지의 거리’인지 꼭짓점과 변을 구분해 표시하게 한다. 교사는 학생이 지름과 반지름의 관계를 식으로 남긴 뒤, 빗변 중점에서 양 끝까지의 거리가 각각 6cm라는 근거까지 말하는지 확인한다.