퇴계동 중등수학과외

중1 자료의 정리와 해석 수업에서 교사는 점수와 도수를 적은 대표 문제, 그리고 학생이 작성한 평균=(1+2+3)/3=2점이라는 답안을 나란히 놓았다. 문제의 조건은 점수 1점인 학생이 2명, 2점인 학생이 3명, 3점인 학생이 1명이라는 내용이었다. 퇴계동중등수학과외 수업에서는 정답을 곧바로 고치기보다 학생의 식이 문제의 자료를 모두 반영했는지부터 확인했다. 교사가 “1점인 두 사람의 점수를 모두 포함했니?”라고 묻자 학생은 식에 1점, 2점, 3점이라는 서로 다른 점수만 한 번씩 적었다는 사실을 확인했다.

서로 다른 점수만 더했을 때 빠진 조건

학생이 1+2+3을 계산한 부분 자체는 정확했고, 세 종류의 점수가 무엇인지 읽어 낸 것도 맞았다. 처음 달라진 판단은 각 점수가 몇 명에게서 나왔는지를 평균 계산에 넣지 않은 데 있었다. 다만 이 한 번의 오답만으로 계산 실수라고 단정하지 않았다. 교사는 “1점은 실제 자료에 몇 번 나타나?”라고 다시 물었고, 학생이 문제의 도수를 읽는지와 자신의 식을 어떻게 설명하는지를 함께 확인했다. 학생은 1점이 두 번, 2점이 세 번, 3점이 한 번 나타난다고 말했지만, 평균의 분모는 서로 다른 점수의 개수인 3이라고 생각했다고 설명했다. 따라서 핵심은 숫자를 더하는 계산보다 도수가 평균에 들어가는 방식을 판단하는 데 있었다.

값×도수로 총점을 만든 뒤 직접 수정하기

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고, “각 점수가 도수만큼 반복된다면 총점은 어떻게 만들까?”라고 질문했다. 이어 도수만큼 각 값이 반복되므로 값×도수로 총점을 만든다는 관계만 한 단계 보여 주었다. 이제 다음 계산은 학생이 직접 하도록 했다. 학생은 점수별로 해당 도수를 곱해 총점=1×2+2×3+3×1=11점이라고 적었다. 이어 전체 인원을 서로 다른 점수의 개수가 아니라 도수의 합으로 세어 인원=2+3+1=6명을 구했다. 처음 풀이의 1+2+3은 각 점수를 한 번씩만 더했지만, 수정 풀이에서는 1점과 2점과 3점이 실제 인원만큼 반영되었다. 마지막으로 학생은 평균=11/6점이라고 결론을 썼다.

자료를 펼쳐 확인하고 미지수 조건에 적용하기

수정한 계산을 같은 식으로 한 번 더 반복하는 대신, 교사는 자료를 실제 목록으로 바꾸어 검산하게 했다. 점수 자료를 1, 1, 2, 2, 2, 3으로 펼치면 전체 합은 11이고 자료의 수는 6이므로 평균은 11/6점이다. 도수표에서 만든 총점과 자료를 펼쳐 얻은 합이 일치하므로, 학생의 수정 식이 조건과 맞는지 다른 방식으로 확인할 수 있다.

이제 조건을 바꾼 적용 문제를 제시했다. 점수 1점, 2점, 3점의 도수가 각각 2명, k명, 2명이고 k는 0 이상의 정수일 때 평균을 구하는 문제다. 학생은 먼저 점수×도수의 합을 1×2+2×k+3×2=2k+8로 만들고, 전체 인원을 2+k+2=k+4로 적어야 한다. 따라서 평균은 (2k+8)/(k+4)=2점이다. 또 1점과 3점이 두 명씩 짝을 이루어 평균 2가 되고, 가운데 값은 모두 2점이므로 k가 어떤 0 이상의 정수여도 평균이 2점이라는 점을 확인할 수 있다. 다음 문제에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 풀이와 정답을 가린 뒤, 학생이 도수에 해당하는 곱으로 총점을 먼저 구하고 그 이유까지 도움 없이 말하는지 확인한다. 막히면 “도수만큼 각 값이 반복된다”는 관계만 다시 보여 주며, 다음 계산은 학생이 직접 쓰게 한다.