칠전동 중등수학과외

가상 수업에서 학생은 공정한 동전 한 개와 1부터 6까지가 같은 확률로 나오는 주사위 한 개를 독립적으로 던지는 문제를 풀었다. 질문은 “동전은 앞면이고 주사위는 짝수일 확률은?”이었다. 학생이 적은 답안은 1/2+3/6=1이었다. 칠전동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 고치기보다, 이 식이 문제의 조건을 어떻게 읽었는지부터 확인했다.

“앞면이고 짝수”를 더한 이유 확인하기

교사는 학생에게 “동전 뒤면·주사위 홀수도 실제로 나올 수 있을까?”라고 물었다. 학생은 동전의 뒤면도, 주사위의 홀수도 가능하다고 답했다. 그러자 교사는 답안의 수와 조건을 나란히 놓고 보게 했다. 동전이 앞면인 경우와 주사위가 짝수인 경우를 각각 세어 더하면, 문제에서 요구한 두 조건을 동시에 만족하는 결과가 아니라 각 조건 중 하나만 만족해도 포함하는 방식이 된다는 점을 짚었다.

다만 이 한 줄의 오답만으로 학생이 경우의 수 전체를 모른다고 단정하지 않았다. 교사는 “앞면이면서 짝수인 결과를 말해 볼래?”라고 다시 물었고, 학생은 (앞, 2), (앞, 4), (앞, 6)을 말할 수 있었다. 말로는 공통 결과를 구분했지만, 적어 놓은 계산에는 그 구분이 반영되지 않았다. 따라서 교사는 개념을 설명하기 전에 말한 기준과 실제 식이 같은지 대조했고, 결과를 세는 과정에서 판단을 옮겨 쓰는 방법을 더 확인하기로 했다.

독립인 두 시행에서 동시에 만족하는 확률

교사의 설명은 한 단계로 제한했다. “두 조건을 동시에 만족하면 더할까, 곱할까?”라고 묻고, 동전과 주사위가 서로 독립이라는 조건에 밑줄을 그었다. 동전의 결과가 주사위의 결과를 바꾸지 않으므로, 두 사건이 함께 일어날 확률은 각각의 확률을 곱한다. 교사는 (1/2)×(3/6)까지만 시범으로 적고, 그다음 계산 방법은 학생이 정하게 했다.

학생은 먼저 ‘동시에’라는 말을 표시한 뒤, 더하기가 아니라 곱하기를 선택했다. 이후 경우의 수로도 확인했다. 동전은 앞면과 뒤면 2가지, 주사위는 1부터 6까지 6가지이므로 전체 결과는 2×6=12개이다. 이 가운데 앞면이면서 짝수인 결과는 (앞, 2), (앞, 4), (앞, 6) 세 개다. 따라서 학생은 직접 3/12=1/4라고 고쳐 썼다.

수정 답안을 다른 방식으로 검산하기

검산에서는 같은 3/12 계산을 그대로 반복하지 않았다. 독립 시행의 곱을 이용해 (1/2)×(3/6)=3/12=1/4로 대조했다. 학생은 동전에서 앞면일 가능성과 주사위에서 짝수일 가능성을 각각 확인한 뒤, 두 조건이 함께 필요하므로 곱했다는 이유를 말로 설명했다. 처음 답안의 1/2+3/6은 ‘앞면 또는 짝수’에 가까운 계산이고, 수정 답안은 ‘앞면이고 짝수’라는 원래 조건에 맞는 계산이라는 차이도 직접 표시했다.

‘또는’으로 바뀐 조건에 적용하기

이제 조건을 바꿔 “앞면이거나 주사위가 짝수일 확률은?”을 제시했다. 여기서는 두 조건 중 하나만 만족해도 성공이므로, 앞면인 결과 6개와 짝수인 결과 6개를 합칠 수 있다. 단, 앞면이면서 짝수인 결과 세 개가 두 번 들어가므로 한 번 빼야 한다. 학생은 성공 결과를 세어 6+6−3=9개로 정리하고, 확률을 9/12=3/4라고 구했다. 실패하는 경우는 뒤면이면서 홀수인 세 결과뿐이므로, 1−3/12=3/4로도 확인했다.

다음 수업에서는 대표 문제의 동전과 주사위 조건을 그대로 두고 기존 풀이와 정답을 가린 채, 학생이 풀이 첫 줄에 ‘동시에’인지 ‘또는’인지 표시하게 한다. 이어서 곱셈이나 겹친 결과의 조정 중 어떤 방법을 선택했는지 말하고, 계산 결과가 전체 12개와 조건에 맞는지 설명하게 한다. 교사는 학생이 조건을 먼저 구분한 표시, 직접 쓴 식, 검산 근거를 차례로 확인한다.