소양지구 중등수학과외

중2 경우의 수와 확률 수업에서 교사는 공정한 주사위를 한 번 던지는 문제와 학생의 답안 3/6+2/6=5/6을 나란히 놓았다. 문제는 1부터 6까지의 눈이 같은 확률로 나오는 주사위에서 짝수이거나 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하는 것이었다. 소양지구중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 알려 주기보다, 학생이 적은 두 수의 개수가 문제의 조건을 실제로 만족하는지 먼저 확인하게 했다.

“6이 두 목록에 각각 있나요?”

학생은 짝수를 2, 4, 6으로 세어 3/6을 적었고, 4보다 큰 수를 5, 6으로 세어 2/6을 적었다. 각 사건을 따로 세는 과정은 맞았다. 교사는 “두 목록에 6이 각각 있나요?”라고 짧게 물었다. 학생은 목록을 다시 보며 짝수에도 6이 있고, 4보다 큰 수에도 6이 있다고 답했다. 이 대답과 계산 줄을 함께 확인하면 처음 달라진 판단이 계산 자체인지, 겹친 결과를 별도로 세었는지 구분할 수 있다. 따라서 이 한 번의 오답만으로 학생이 확률 개념을 모른다고 단정하지 않고, 두 사건을 합치는 순간 어떤 처리를 했는지 살핀다.

‘또는’에서 중복 결과를 제거하는 한 단계

교사는 두 목록을 직접 다시 써 주었다. 짝수는 {2, 4, 6}, 4보다 큰 수는 {5, 6}이었다. 이어서 “‘또는’ 사건에서 같은 결과 6은 한 번만 센다”라고 설명하고, 합친 결과를 학생이 직접 정리하도록 했다. 학생은 처음의 3/6과 2/6을 그대로 더하지 않고, 두 목록에서 6을 한 번만 남겨 {2, 4, 5, 6}을 적었다. 여기서 교사가 대신 전체 식을 완성하지 않은 이유는, 중복을 제거해야 하는 판단을 학생의 손으로 확인하기 위해서다.

학생은 합친 결과가 네 가지라는 점을 세어 4/6=2/3이라고 수정했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 각 사건의 확률을 계산한 방식이 아니라, 두 사건을 합칠 때 공통 결과를 한 번 더 세지 않은 점이다. 학생에게는 “합친 목록에서 같은 숫자가 두 번 보이면 어떻게 해야 하나요?”라고 다시 묻고, 6을 지운 표시와 함께 수정된 목록을 설명하게 했다.

대입이 아닌 여집합으로 확인하기

이번 답은 같은 덧셈을 반복해 확인하지 않았다. 전체 여섯 결과 가운데 짝수이거나 4보다 큰 수에 해당하지 않는 눈을 찾아보면 1과 3뿐이다. 따라서 제외되는 결과의 확률은 2/6이고, 원하는 확률은 1−2/6=4/6=2/3이다. 직접 합친 목록에서 네 결과를 센 것과, 전체에서 제외되는 두 결과를 뺀 것이 같은 답을 주므로 수정한 판단이 조건과도 맞는다. 검산 과정에서도 학생은 6을 두 번 세지 않았는지 다시 목록을 확인했다.

‘또는’에서 ‘이면서’로 바뀐 조건

조건을 바꾼 적용 문제는 “공정한 주사위를 한 번 던질 때 짝수이면서 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하라”이다. 이번에는 두 조건 중 하나만 만족하는 결과를 모으는 것이 아니라, 두 조건을 동시에 만족하는 공통 결과를 찾아야 한다. 짝수 목록은 {2,4,6}, 4보다 큰 수의 목록은 {5,6}이므로 두 목록에 함께 있는 수는 6 하나다. 2와 4는 4보다 크지 않고, 5는 짝수가 아니므로 해당되지 않는다. 따라서 확률은 1/6이다. 학생은 ‘또는’에서는 합친 결과의 중복을 제거하고, ‘이면서’에서는 공통 결과만 고른다는 차이를 말로 설명해야 한다.

다음 문제에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 두 목록을 직접 작성하고 합칠 때 중복된 6을 제거하게 한다. 막히면 “‘또는’ 사건에서 같은 결과 6은 한 번만 센다”라는 문장까지만 다시 보여 주고 다음 계산은 맡긴다. 교사는 학생이 6을 한 번만 적은 목록, 4/6=2/3이라는 식, 그리고 중복 제거 이유를 도움 없이 말하는지를 확인한다.