우두동 중등수학과외

학생은 먼저 “2의 지수가 3이므로 n=3”이라고 적었다. 문제는 72에 자연수 n을 곱해 완전제곱수를 만드는 것이므로, n=3을 곱한 결과가 조건에 맞는지 확인해야 한다. 교사는 답을 바로 고치지 않고 “72×3에서 2의 지수는 바뀌는가?”라고 물었다. 학생이 72×3=216을 계산한 뒤 72의 소인수분해에서 2의 지수가 그대로 3이라는 점을 말하는지 확인했다. 우두동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제 조건을 나란히 놓고, 처음 달라진 판단이 어디에서 생겼는지 좁혀 간다.

72×3에서 그대로인 2의 지수

학생의 풀이에는 맞게 시작한 부분도 있었다. 72에서 소수 2의 지수가 3이라는 사실 자체는 맞았다. 그러나 그 지수 3을 곱해야 할 자연수 n으로 옮긴 순간 문제가 달라졌다. 72=2³×3²로 나타내면, 완전제곱수는 모든 소인수의 지수가 짝수여야 한다는 기준을 적용할 수 있다. 교사는 “n에 3을 쓰면 2의 지수가 몇이 되지?”라고 다시 질문했다. 학생이 72×3=2³×3³이라고 적는다면, 2의 지수는 여전히 홀수이고 3의 지수만 2에서 3으로 바뀐다는 것을 직접 확인할 수 있다.

홀수 지수인 소수 2를 한 번 추가하기

교사가 제공한 설명은 한 단계로 제한했다. “2³을 2⁴로 만들려면 밑 2를 몇 번 곱해야 할까?”라고 묻고, 2를 한 번 곱하는 모습만 보여 주었다. 이후 학생은 72를 다시 소인수분해하여 72=2³×3²라고 썼다. 3의 지수 2는 이미 짝수이고, 홀수인 지수는 2의 지수 3뿐이라는 점을 표시했다. 그래서 소수 2를 한 번 추가하면

72×2=2⁴×3²=16×9=144=12²

가 된다. 학생은 교사가 전 과정을 대신 적어 준 것이 아니라, 홀수 지수인 소수 2를 한 번 추가한 뒤 나머지 곱셈과 결론을 직접 완성했다. 처음에는 지수 3을 n으로 사용했지만, 수정 풀이에서는 지수를 짝수로 바꾸는 데 필요한 밑을 n으로 선택했다. 따라서 가장 작은 자연수는 n=2이다.

제곱수인지 다른 방식으로 검산하기

수정한 답은 소인수분해만 반복하지 않고 원래 조건에 대입해 확인한다. 72에 구한 n=2를 곱하면 72×2=144=12×12이므로 완전제곱수가 된다. 최소인지 확인하려면 n=1일 때의 72를 살핀다. 8²=64, 9²=81이므로 64<72<81이고, 72는 제곱수가 아니다. 따라서 n=1은 조건을 만족하지 않으며 n=2가 가장 작다. 학생이 마지막에 “지수를 바로 n으로 쓰는 것이 아니라, 홀수 지수를 짝수로 만드는 소인수를 선택해야 한다”고 설명하는지 확인하면 말로 제시한 기준과 실제 계산이 일치하는지도 대조할 수 있다.

곱셈을 나눗셈 조건으로 바꾸어 보기

조건을 바꾼 적용 문제에서는 72를 자연수 n으로 나눈 몫이 자연수이면서 완전제곱수가 되게 한다. 이번에는 지수를 늘리는 대신 줄여야 한다. 72=2³×3²에서 홀수인 2의 지수를 하나 줄이려면 2로 나눈다. 학생은 72÷2=2²×3²=4×9=36=6²이라고 적고, 몫이 자연수라는 조건도 함께 확인한다. n=1이면 몫은 72이고 앞의 검산처럼 제곱수가 아니므로 가장 작은 n은 2이다. 다음 수업에서는 대표 문제의 자료를 그대로 두되 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생이 먼저 홀수 지수인 소수 2를 표시하고, 곱셈 문제에서는 2를 한 번 추가하며 나눗셈 문제에서는 2를 한 번 나눈 뒤, 계산 결과가 완전제곱수라는 조건과 맞는지 설명하는지를 교사가 확인한다.