석사지구 중등수학과외

중3 근호를 포함한 식의 계산 수업에서 교사는 학생이 적은 문제와 답안을 나란히 놓았다. 문항은 “3/√2를 분모가 유리수인 식으로 나타내라”이고, 학생의 답은 “3√2/2는 무리수이므로 유리화가 끝나지 않았다”였다. 교사는 바로 정답을 말하지 않고 “유리수로 만드는 대상이 식 전체일까, 분모일까?”라고 물었다. 석사지구중등수학과외 수업에서는 이 질문에 대한 학생의 설명과 첫 계산을 나란히 보며, 말로 알고 있는 기준과 실제 풀이가 달라지는 지점까지만 확인했다.

‘무리수’라는 답안에서 처음 달라진 판단

학생은 분자에 √2가 남아 있다는 사실을 보고 식 전체가 유리수가 되어야 한다고 판단했다. 그러나 처음 식에서 분모는 √2이고, 유리화의 확인 대상은 식 전체의 수 종류가 아니라 분모의 상태이다. 따라서 학생이 3에 √2를 곱하고 분모에도 √2를 곱한 계산 자체는 방향에 맞았다. 분자에 근호가 남았다는 이유만으로 풀이가 실패했다고 결론 내린 부분이 처음 어긋난 판단이다.

교사는 작은 대조 계산만 제시했다. 학생이 얻은 식에 √2를 곱하면 (3√2/2)×√2=3이다. 이 결과는 원래 분자 3과 일치한다. 교사는 “지금 유리수가 된 곳을 분모에서 찾아 표시해 보자”라고 말하고, 이어 “분모가 √2에서 어떤 수로 바뀌었지?”라고 물었다. 설명은 분모의 유리화는 분모만 유리수가 되도록 하는 것이라는 범위에서 멈췄다. 식 전체가 유리수인지 판단하는 일은 학생이 직접 구분하도록 했다.

분모와 식 전체를 나누어 적은 수정 풀이

학생은 원래 식의 분자와 분모에 같은 수 √2를 곱해야 값이 변하지 않는다고 다시 적었다.

3/√2 × √2/√2 = 3√2/(√2×√2) = 3√2/2

그 뒤 분모를 가리키며 √2×√2=2이므로 분모는 유리수 2가 되었다고 설명했다. 분자 3√2는 무리수인 채 남지만, 그것은 유리화의 실패 조건이 아니라고 덧붙였다. 처음에는 ‘식 전체가 유리수여야 한다’고 적었지만, 수정 뒤에는 ‘분모가 유리수인지 먼저 확인하고 식 전체의 수 종류는 따로 본다’고 판단 기준을 바꾸었다. 최종 답은 3√2/2이다.

이번 확인에서는 같은 계산을 반복하지 않고 원래 식과의 관계를 이용했다. 수정한 식에 분모의 √2를 곱하면 (3√2/2)×√2=3이 되어 원래 분자와 일치한다. 이 검산은 분모가 실제로 유리수가 되었는지와, 분자·분모에 같은 √2를 곱해 값의 관계를 유지했는지를 함께 확인한다. 학생은 답만 읽지 않고 “분모의 근호가 사라졌고, 원래 식의 분자와 연결된다”고 근거를 말해 보았다.

분모 앞 계수 2를 유지하는 새 조건

이제 조건을 바꾸어 “3/(2√2)를 분모가 유리수인 식으로 나타내라”를 제시했다. 이번에는 근호 앞에 계수 2가 있으므로, 유리화한 뒤에도 그 계수가 분모 계산에 남아야 한다. 학생은 분자와 분모에 √2를 곱해 다음과 같이 작성했다.

3/(2√2) × √2/√2 = 3√2/(2√2×√2) = 3√2/4

분모는 2×(√2×√2)=2×2=4이므로 유리수이고, 기존 계수 2를 빠뜨리지 않았다. 별도의 확인으로 (3√2/4)×2√2=3을 계산하면 원래 분자와 일치한다. 두 문제에서 유지되는 원리는 분자와 분모에 같은 √2를 곱해 분모의 근호를 없애는 것이며, 달라진 조건은 분모의 근호 앞 계수 2까지 끝까지 보존해야 한다는 점이다.

다음 수업에서는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생이 도움 없이 분모에 √2를 곱하고, 분모가 유리수인지와 식 전체의 수 종류를 구분해 설명하는지 확인한다. 막히는 경우에는 “분모의 유리화는 분모만 유리수가 되도록 하는 것이다”까지만 다시 제시하고, 이어지는 식은 학생이 완성하게 한다. 완성 뒤에는 (3√2/2)×√2=3을 사용해 원래 조건을 만족하는지 스스로 검산하는지를 기록한다.