동면 고등수학과외

사라진 정의역 조건부터 찾기

“f(x)=x²−2x+k의 구간 [0,2]에서 최솟값이 3이다. 실수 k를 구하라.”라는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. 상수항 k가 최솟값이므로 k=3이라고 적는 경우다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치기 전에 오답에서 어떤 조건이 사라졌는지 먼저 표시하게 한다. 식에 k가 들어 있다는 사실만 보고 판단했는지, 아니면 x가 [0,2]에서 움직인다는 정의역을 사용하지 않았는지를 구분해야 한다. “x=0과 꼭짓점 x=1의 함숫값은 같은가?”라고 묻고, 학생이 두 값을 직접 계산해 비교하도록 한다.

꼭짓점과 구간을 함께 확인하기

먼저 −2x를 포함한 이차식을 완전제곱식으로 바꾼다. f(x)=(x−1)²+k−1이다. 따라서 축은 x=1이고, 이 점은 주어진 구간 [0,2] 안에 있다. 교사는 여기서 최솟값을 바로 말하지 않고, 학생이 x=1에서의 값과 양 끝점 x=0, x=2에서의 값을 각각 적게 한다. f(1)=k−1, f(0)=k, f(2)=k이므로 꼭짓점의 값이 끝점보다 1만큼 작다는 것을 확인할 수 있다. 이 비교가 있어야 ‘꼭짓점이 구간 안에 있으므로 최솟값 후보가 된다’는 결론이 성립한다. 학생이 근거 한 단계 뒤의 식과 결론을 직접 완성하면, 상수항을 최솟값으로 착각한 원인이 계산인지 조건 해석인지도 선명해진다.

학생의 수정 풀이는 “x=1이 [0,2] 안에 있으므로 최솟값은 k−1이다. 따라서 k−1=3, k=4”의 순서가 된다. 정답을 얻은 뒤에도 f(x)=(x−1)²+3으로 다시 써서 모든 실수 x에 대해 (x−1)²≥0이므로 f(x)≥3임을 확인하고, x=1에서 실제로 3이 되는지 대입한다. 이렇게 하면 구간 안에서 최솟값이 달성된다는 조건과 식 전체의 부등식 근거를 함께 검산할 수 있다.

축의 위치가 달라질 때 판단 옮기기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 뒤, “실수 a에 대해 f(x)=(x−a)², 0≤x≤1의 최솟값을 a에 따라 구하라”를 독립적으로 시작한다. 먼저 수직선에 구간 [0,1]과 축 x=a의 위치를 표시한다. a<0이면 허용된 x 중 a에 가장 가까운 점은 x=0이므로 최솟값은 a²이다. 0≤a≤1이면 x=a를 선택할 수 있어 최솟값은 0이다. a>1이면 가장 가까운 점은 x=1이므로 최솟값은 (1−a)²이다. 따라서 결과는 a<0에서 a², 0≤a≤1에서 0, a>1에서 (1−a)²이다. a=0과 a=1을 대입하면 인접한 식이 모두 0으로 이어지는지도 확인한다. 같은 완전제곱식이라도 축이 구간 안에 있는지에 따라 답이 달라진다. 다음에는 수정 전후의 풀이 순서를 섞어 놓고, 최솟값으로 상수를 역산하는 단계와 구간의 끝점을 비교하는 단계를 직접 복원하게 한다. 꼭짓점을 무조건 답으로 고르기 전에 축과 정의역을 한 수직선에 놓는 습관이 다음 문제에서도 판단의 기준이 된다.