동춘동 고등수학과외

새 문제에서는 같은 근호 계산처럼 보여도 정의되는 범위가 달라진다. 실수 x에 대해 √((x−1)(x+1))와 √(x−1)√(x+1)이 모두 정의되고 같은 x의 범위를 구한다고 하자. 왼쪽은 (x−1)(x+1)≥0이므로 x≤−1 또는 x≥1에서 정의된다. 그러나 오른쪽은 √(x−1), √(x+1)이 각각 정의되어야 하므로 x−1≥0과 x+1≥0을 동시에 만족해야 한다. 따라서 공통 범위는 x≥1이고, 이 범위에서는 두 근호 안이 모두 비음수이므로 곱셈법칙을 적용할 수 있다. x=−2를 대입하면 왼쪽은 √3으로 정의되지만 오른쪽의 √(x−1)는 정의되지 않는다. 이 값은 왼쪽만 보고 범위를 넓히면 안 된다는 반례가 된다.

표현이 비슷해도 조건부터 분리하기

이 차이를 확인한 뒤 기본 문제로 돌아간다. x≥0일 때 √(x+9)=√x+3이 모든 x에서 성립하는지 판단하는 문제다. 이렇게 답했다면 먼저 “근호를 나누면 항상 성립한다”는 결론을 그대로 고치지 않고, x=16에서 √25와 4+3이 같은지 직접 계산해 보게 한다. 실제로 √25=5이고 4+3=7이므로 두 값은 같지 않다. 한 번의 대입은 반례를 찾는 데 도움이 되지만, 모든 x에서의 성립 여부를 확정하려면 식의 구조와 조건을 함께 확인해야 한다.

제곱 뒤에는 후보와 원식을 대조하기

양변을 제곱하면 왼쪽은 x+9이고 오른쪽은 (√x+3)²=x+6√x+9이다. 오른쪽에 교차항 6√x가 생긴다는 점에서 두 식이 일반적으로 같을 수 없음을 확인할 수 있다. 다만 양변을 제곱한 결과만 보고 곧바로 결론을 정하지 않는다. 제곱은 경우에 따라 후보를 늘릴 수 있으므로, 원식의 정의 조건 x≥0과 양변이 모두 비음수라는 사실을 먼저 비교해야 한다. 이 문제에서는 그 조건이 갖춰져 있어 원식의 양변이 같다는 것과 제곱한 양변이 같다는 것을 역으로 대조할 수 있다.

학생이 다음 줄을 직접 잇게 하면 x+9=x+6√x+9에서 6√x=0을 얻고, √x=0이므로 x=0이라고 표시할 수 있다. 따라서 모든 x에서 참이라는 주장은 거짓이고, 등식은 x=0에서만 성립한다. x=0을 원식에 넣으면 왼쪽은 3, 오른쪽도 0+3=3이므로 조건을 만족한다. 중요한 것은 근호를 임의로 나누는 것이 아니라, 근호의 합과 합의 근호를 전개해 생기는 교차항을 확인하는 과정이다.

가린 풀이로 조건을 바꾸어 다시 적용하기

재적용할 때는 두 근호가 포함된 문제와 정의 조건만 남기고, 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 먼저 √((x−1)(x+1))와 √(x−1)√(x+1)이 모두 정의되는 범위를 적는다. 왼쪽만 보면 x≤−1도 가능하지만, 오른쪽의 두 근호까지 정의하려면 x≥1이어야 한다. 그 뒤 x≥1에서 각 근호 안이 비음수임을 확인하고 곱셈법칙을 적용해 정답 x≥1을 얻는다. 이는 기본 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 한 근호 안의 곱과 두 근호의 곱이라는 조건을 실제로 바꾼 문제다.

마지막으로 처음 오답의 결론을 식으로 바꾸어 표시하게 한다. “항상 성립”은 x의 모든 범위에서 등식이 맞는다는 뜻이지만, 직접 전개하면 6√x=0이라는 제한이 남는다. 기본 문제를 다시 푼 뒤에도 답을 기억한 것인지 확인하려면 새 조건의 문제에서 왼쪽과 오른쪽의 정의 범위를 따로 적고, 제곱이나 곱셈법칙을 적용한 뒤 원래 식에 대조하게 한다. 다음 점검에서도 문제·조건·필수 자료만 남긴 상태에서 풀이를 가리고 시작하면, 결론을 외운 것이 아니라 정의역과 성립 조건을 근거로 다시 만든 것인지 확인할 수 있다.