두산동 고등수학과외

삼각함수의 그래프와 구간 내 해를 다룰 때는 기본각을 기억하는 것보다 주어진 정의역에 실제로 들어가는 해를 고르는 일이 먼저다. 예를 들어 “π/2≤x≤3π/2에서 sin x=1/2의 모든 해를 구하라”는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. sin x=1/2의 기본 해가 π/6, 5π/6이므로 두 값을 모두 쓴다. 답의 모양은 익숙하지만, 이번 문제의 구간과 대조하는 단계가 빠져 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 계산 결과보다 조건을 확인한 흔적을 먼저 살핀다.

기본 해를 적은 뒤 정의역과 대조하기

먼저 각은 별도 표시가 없으므로 라디안으로 읽고, 한 주기에서 sin x=1/2가 되는 후보를 π/6과 5π/6으로 적는다. 그런 다음 단위원이나 사인 그래프에 구간 [π/2, 3π/2]를 겹쳐 표시한다. 확인 질문은 간단하다. “π/6은 이번 정의역에 속하는가?” 학생이 직접 π/6<π/2임을 표시하면 첫 번째 후보는 제외된다. 5π/6은 π/2와 3π/2 사이에 있으므로 남는다. 한 해만 외운 것인지, 주기와 구간을 그래프에 적용하지 못한 것인지는 이 대조 과정을 말하고 표시하게 하면서 구분할 수 있다.

그래프의 교점으로 빠진 해가 없는지 확인하기

교사는 정답을 바로 제시하지 않고 y=sin x 그래프와 수평선 y=1/2의 교점을 주어진 구간 안에서 모두 찾게 한다. [π/2, 3π/2]에서 그래프는 1에서 시작해 -1로 내려가며 수평선 y=1/2와 한 번 만난다. 학생은 π/6을 지우고 5π/6만 남기는 수정 풀이를 직접 완성한다. 구간의 양 끝에서 sin(π/2)=1, sin(3π/2)=-1이고, 그래프의 해당 구간에서 교점은 하나이므로 추가 해가 없다. 따라서 정답은 5π/6이다. 단순히 기본각 두 개를 적는 것과, 각 후보의 정의역 포함 여부 및 그래프의 모든 교점을 확인하는 것은 다른 풀이임을 비교한다.

구간을 바꾸어 선택 이유를 다시 설명하기

같은 원리를 0≤x<2π에서 sin x=1/2의 모든 해를 구하는 문제에 다시 적용한다. 이번에는 단위원에서 높이 1/2인 수평선이 만나는 두 점을 표시한다. 기준각은 π/6이고, 두 번째 각은 π−π/6=5π/6이다. 두 값 모두 0≤x<2π 안에 있고 각각의 사인값이 1/2이므로 정답은 π/6, 5π/6이다. 한 바퀴 안에서 수평선과 만나는 점이 두 개라는 것도 확인한다. 이후 수정 전후 풀이를 섞어 제시하고, 좁은 구간 문제에 필요한 순서를 복원하게 한다. 다른 구간의 사인방정식에서도 먼저 문제의 구간을 표시하고, 기본각과 두 번째 교점을 대조한 뒤, 끝점 포함 여부와 사인값을 직접 검산하게 한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 달라진 문제인지 구별하며, 기본각만 떠올랐을 때는 단위원이나 한 주기 그래프에 교점을 표시하는 습관을 이어 간다.