두정동 중등수학과외

∠IBC=25°, ∠ICB=35°에서 ∠A 찾기

수업은 또 다른 조건의 문제에서 시작한다. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠IBC=25°, ∠ICB=35°일 때 ∠A를 구하는 상황이다. 학생은 먼저 내심 I에서 B와 C로 이어진 선이 각의 이등분선이라는 조건을 확인해야 한다. 따라서 BI가 나누기 전의 꼭짓점 B의 전체 내각은 25°의 두 배인 ∠B=50°이고, CI가 나누기 전의 C의 전체 내각은 35°의 두 배인 ∠C=70°이다. 삼각형의 세 내각의 합을 이용하면 ∠A=180°−50°−70°=60°이다. 이 문제에서는 전체 각을 반으로 나누는 것이 아니라, 내심에서 만들어진 반쪽 각을 보고 원래의 전체 내각을 복원하는 방향으로 판단해야 한다.

교사는 학생에게 “내심은 어떤 선들의 교점이지?”라고 묻는다. 학생이 단순히 “삼각형 안의 점”이라고 답하는지, 아니면 세 각의 이등분선이 만나는 점이라고 말하는지를 확인한다. 이 질문의 답만으로 풀이 습관의 원인을 확정하지 않고, 학생이 실제로 적는 계산 줄도 함께 본다. 50+70+60=180이라는 확인식까지 남기면, 두 반쪽 각을 전체 내각으로 바꾸고 마지막 각을 구했다는 근거가 드러난다.

내심 선을 중선으로 생각한 첫 풀이

이제 조건을 바꾸어 삼각형 ABC에서 ∠A=50°, ∠B=60°이고 I는 내심인 문제를 제시한다. 학생은 처음에 “BI는 AC를 반으로 나누므로 각은 알 수 없다.”라고 적었다. AC를 반으로 나누는 선이라는 설명은 중선에 해당할 때의 판단이므로, 학생이 BI를 내심의 각의 이등분선이 아니라 중선으로 취급했는지가 첫 확인 지점이다. 교사는 “BI와 CI가 어떤 각을 나누는지 표시해 볼까?”라고 짧게 묻고, 삼각형의 변을 반으로 나누는지보다 꼭짓점의 각을 나누는지를 조건과 대조하게 한다.

교사가 제공하는 설명은 한 단계로 제한한다. 내심은 각의 이등분선의 교점이다.라는 문장만 다시 보여 주고, B에서 나온 BI가 ∠B를 어떻게 나누는지와 C에서 나온 CI가 ∠C를 어떻게 나누는지는 학생이 직접 이어 쓰게 한다. 학생이 “그러면 BI는 ∠B를, CI는 ∠C를 각각 반으로 나눈다.”라고 말하면, 처음 오답의 문장과 수정 풀이의 출발을 나란히 비교한다. 핵심은 선분의 중점 여부가 아니라 내심을 정의하는 선의 종류를 선택하는 데 있다.

∠B와 ∠C를 절반으로 나누는 수정

학생은 먼저 세 내각의 합에서 ∠C=180°−50°−60°=70°을 계산한다. 그다음 B의 내각은 60°이므로 BI가 이를 이등분하여 ∠IBC=60°÷2=30°이 된다. C의 내각은 70°이므로 CI가 이를 이등분하여 ∠ICB=70°÷2=35°가 된다. 따라서 정답은 ∠IBC=30°, ∠ICB=35°이다. 처음 풀이에서는 BI가 AC를 반으로 나눈다고 보아 각을 알 수 없다고 했지만, 수정 풀이에서는 내심 조건에서 꼭짓각의 절반을 사용했다는 차이가 분명하다.

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않는 방식으로 진행한다. 삼각형 BIC에서 이미 얻은 두 각의 합은 30°+35°=65°이므로 ∠BIC=180°−65°=115°이다. 한편 내심에서 두 각의 이등분선이 만나는 각은 90°+∠A÷2=90°+50°÷2=115°로 계산된다. 두 방법이 모두 115°를 가리키므로, ∠C=70°에서 시작한 수정 풀이와 두 이등분선의 관계가 서로 맞는지 확인할 수 있다.

다음에 가릴 것은 풀이가 아니라 판단의 근거

다음 문제에서는 대표 문제의 조건만 남기고 학생의 오답, 수정 풀이, 정답은 가린다. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠IBC=25°, ∠ICB=35°일 때 학생이 ∠B=25°라고 바로 쓰는지, 아니면 “BI는 각의 이등분선이므로 ∠B=25°×2=50°”라고 이유와 식을 함께 적는지 확인한다. 이어서 ∠C=35°×2=70°, ∠A=180°−50°−70°=60°을 직접 완성하게 한다. 교사는 필요한 경우 “내심은 각의 이등분선의 교점이다.”까지만 다시 보여 주고 다음 계산은 맡긴다. 마지막으로 학생이 60°+50°+70°=180°을 조건 대조로 남기는지, 같은 계산을 되풀이하지 않고 반쪽 각에서 전체 내각을 복원한 이유를 도움 없이 말하는지를 관찰한다.