쌍용동 중등수학과외

같은 조건으로 겹치는 두 식부터 확인하기

수업의 첫 장면에서 학생에게 연립방정식 2x+3y=12, 4x+6y=24의 해가 하나인지 무수히 많은지 판단하게 했다. 학생은 계수를 맞춘 뒤 소거하면 된다고 생각했지만, 두 식을 빼서 0=0이 나오자 특정한 해가 하나 정해진다고 말하려 했다. 교사는 곧바로 결론을 고쳐 주지 않고 “두 번째 식은 첫 번째 식과 어떤 관계일까?”라고 물었다. 학생은 4x가 2x의 두 배이고 6y도 3y의 두 배라는 점을 표시했지만, 우변 24와 12의 관계까지는 바로 설명하지 못했다.

두 번째 식은 첫 번째 식의 모든 항과 우변을 두 배한 식이다. 따라서 두 식은 서로 다른 조건이 아니라 같은 조건을 반복해서 나타낸다. 첫 번째 식을 만족하는 모든 순서쌍이 두 번째 식도 만족하므로, 소거 결과인 0=0은 해가 하나라는 뜻이 아니라 조건이 서로 모순되지 않고 같은 식이라는 뜻이다. 학생은 이 판단을 확인하기 위해 (0,4), (3,2), (6,0)을 차례로 대입했다. 예를 들어 (0,4)는 2×0+3×4=12이고, 두 번째 식에서도 4×0+6×4=24가 되어 두 식을 모두 만족한다. 서로 다른 해가 여러 개 나온다는 점을 통해 해가 하나로 정해지지 않음을 확인했다.

대표 문제에서 배수는 어느 항에 적용하는가

이제 비교할 대표 문제로 2x+3y=12, 3x−2y=5를 제시했다. 학생의 처음 작성은 “2x+6y=12, 3x−6y=5이므로 5x=17”이었다. 여기서 두 번째 식의 −2y를 −6y로 바꾸어 소거하려 한 의도는 보였지만, 첫 번째 식의 2x를 그대로 두고 3y만 6y로 바꾸었다. 또한 두 번째 식의 3x는 바뀌지 않은 채 −2y만 −6y가 되었다.

교사는 “식 전체를 두 배할 때 2x와 12도 바뀌나요?”라고 짧게 물었다. 학생이 “같이 바뀌어야 한다”고 답하자, 교사는 첫 식의 모든 항과 우변을 2배해야 같은 해를 유지한다고 한 단계만 설명했다. 이어서 학생이 직접 첫 식을 4x+6y=24로 다시 쓰고, 둘째 식은 3배하여 9x−6y=15로 적게 했다. 두 식을 더하면 13x=39이므로 x=3이고, 첫 식에 대입하여 2×3+3y=12, 3y=6, y=2를 얻었다. 처음 풀이와 달라진 점은 소거할 항만 임의로 바꾸지 않고 등식 전체에 같은 배수를 적용했다는 것이다.

계산을 반복하지 않는 검산과 다음 행동

수정 풀이의 검산은 같은 덧셈을 다시 반복하지 않고 원래 두 식에 답을 대입하는 방식으로 진행했다. 2×3+3×2=12이고, 3×3−2×2=5이므로 (x,y)=(3,2)는 두 조건을 모두 만족한다. 이 확인은 4x+6y=24와 9x−6y=15를 다시 더하는 것과 다른 방법이다. 학생은 한 식에서만 맞는지를 보지 않고 두 식을 각각 확인해야 정답이라고 말로 설명했다.

앞에서 확인한 대표 문제의 원리와 새 문제의 차이는 계수를 맞춘 뒤 두 식이 서로 다른 조건인지, 사실상 같은 조건인지 판별하는 데 있다. 다음 수업에서는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 상태에서 2x+3y=12, 4x+6y=24를 다시 제시한다. 학생이 도움 없이 둘째 식이 첫째 식의 두 배임을 표시하고, 0=0을 하나의 해로 쓰지 않는 이유를 설명하는지 확인한다. 막힐 때는 “첫 식의 모든 항과 우변을 2배해야 같은 해를 유지한다.”라는 문장까지만 보여 준 뒤, 등식 전체에 배수를 적용하는 다음 계산은 직접 쓰게 한다.

쌍용동중등수학과외 수업에서는 답만 맞혔는지가 아니라 학생이 어떤 항을 바꾸었고, 왜 식 전체를 함께 바꾸어야 하는지 설명했는지를 기록한다. 다음 적용 문제에서 학생이 (0,4), (3,2), (6,0)을 대입해 여러 해를 확인하고, 해가 무수히 많다는 결론을 조건의 관계와 연결해 말하는지가 구체적인 확인 근거가 된다.