쌍용지구 중등수학과외

중1 도형의 측정 수업에서 학생은 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 5cm인 직육면체의 겉넓이를 구하는 문제를 풀었다. 학생의 답안에는 “겉넓이=6+10+15=31cm²”라고 적혀 있었다. 쌍용지구중등수학과외 수업에서는 이 식을 곧바로 틀렸다고 지우지 않고, 어떤 면을 세었는지와 세지 않은 면이 무엇인지 말과 계산을 나란히 놓고 확인한다.

6, 10, 15를 계산한 부분과 31cm²가 된 이유

먼저 학생이 계산한 세 면의 넓이는 맞는지 확인했다. 가로와 세로가 만나는 면은 2×3=6cm², 가로와 높이가 만나는 면은 2×5=10cm², 세로와 높이가 만나는 면은 3×5=15cm²이다. 따라서 6, 10, 15라는 세 값 자체는 조건에 맞게 구했다. 학생도 “서로 다른 세 면을 한 번씩 더했다”고 설명했다.

교사는 짧게 물었다. “지금 센 면의 반대편에도 면이 하나씩 있을까?” 학생은 그림에서 보이는 앞쪽 세 면만 손가락으로 짚다가, 뒤쪽과 아래쪽에도 같은 모양의 면이 있다는 점을 확인했다. 이 질문으로 오답의 원인을 계산 실수라고 단정하지 않고, 보이는 세 면만 합친 판단이 문제의 겉넓이 조건과 맞는지 좁혀 볼 수 있었다. 학생이 말로는 “세 면만 센다”고 하고 식에는 다른 면을 포함했다면 옮겨 적는 과정도 따로 확인해야 하지만, 이 경우에는 말과 식이 모두 세 면만 센다는 점에서 같은 판단을 보였다.

반대편 면을 두 장씩 세어 62cm²로 고치기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 보여 주었다. 직육면체의 각 면에는 넓이가 같은 반대 면이 하나씩 있다는 관계를 그림의 색이 같은 면끼리 연결해 표시했다. 그러자 학생은 서로 마주 보는 같은 면을 두 장씩 세어야 한다고 말하고, 직접 다음과 같이 다시 적었다.

서로 다른 면의 넓이는 6cm², 10cm², 15cm²이고 각각 두 장이다.
겉넓이=2(6+10+15)=2×31=62cm²

처음 풀이와 달라진 점은 6, 10, 15를 새로 계산한 것이 아니라, 각각에 대응하는 반대편 면을 한 장씩 더 포함한 것이다. 수정한 뒤에는 같은 덧셈을 반복하지 않고 면의 개수로 검산했다. 여섯 면을 펼쳐 나열하면 6+6+10+10+15+15=62cm²가 된다. 이 합은 직육면체의 세 쌍의 반대 면을 모두 포함하므로, 수정 풀이의 62cm²와 일치한다.

윗면이 없는 상자에서 실제 면만 세기

다음에는 조건을 바꾸어 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 5cm인 윗면 없는 직육면체 상자의 바깥쪽 면 넓이 합을 구하게 했다. 닫힌 직육면체라면 여섯 면을 세지만, 이번 상자는 윗면 하나가 없으므로 실제로 존재하는 밑면과 네 옆면만 세어야 한다. 공통된 원리는 각 면의 넓이를 조건에 맞게 계산한 뒤 실제 면의 개수를 확인하는 것이다. 달라진 조건은 윗면 2×3=6cm²를 포함하지 않는다는 점이다.

학생은 먼저 닫힌 직육면체의 겉넓이 62cm²에서 윗면 6cm²를 빼는 방법을 선택했다. 62-2×3=62-6=56cm²이므로 윗면 없는 상자의 바깥쪽 면 넓이 합은 56cm²이다. 다른 방식으로도 밑면 6cm²와 옆면 10cm², 10cm², 15cm², 15cm²를 더해 6+10+10+15+15=56cm²가 되는지 확인했다.

다음 수업에서는 같은 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 5cm 자료를 주되 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생이 풀이를 시작할 때 서로 마주 보는 같은 면을 두 장씩 세고, 윗면이 없는 조건에서는 실제로 남아 있는 면만 표시하는지 관찰한다. 풀이를 마친 뒤에는 여섯 면의 합 또는 빠진 면을 뺀 근거와 자신의 답을 대조해 설명하게 하며, 교사는 식에 면의 개수와 조건이 함께 반영되었는지를 확인한다.