성성지구 중등수학과외

“4가 어느 조건으로 들어오는지 구분해 볼까요?” 교사는 주사위 문제를 펼치기 전에 학생에게 먼저 물었다. 4가 4보다 큰지, 같은지 말해 보게 한 이유는 숫자 4를 두 조건에 무심코 넣는지 확인하기 위해서였다. 성성지구중등수학과외 수업에서는 답만 맞히는지보다 조건을 읽고 결과를 분류하는 과정을 학생의 말과 식으로 확인한다.

짝수 조건과 ‘4보다 큰 수’ 조건 나누기

문제는 1부터 6까지가 같은 확률로 나오는 주사위를 한 번 던질 때, 짝수이거나 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하는 것이다. 학생은 풀이 중간에 “4보다 큰 수는 4, 5, 6이다”라고 적었다. 아직 전체 확률을 계산한 것은 아니지만, 이 줄에서 엄격한 부등호의 기준이 바뀌었다.

교사는 곧바로 틀렸다고 표시하지 않고 “4는 4보다 큰 수일까, 아니면 4와 같을까?”라고 물었다. 학생이 4를 “같다”고 답한다면 부등호 조건을 해석하는 데서 판단이 달라진 것이고, 조건을 정확히 말한 뒤 분수 계산에서만 결과가 달라진다면 계산 과정을 한 줄씩 확인할 수 있다. 따라서 이 오답 하나만으로 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고, 경계값을 어떻게 분류하는지 먼저 살핀다.

경계값 4를 한 조건에만 넣어 수정하기

교사는 필요한 만큼만 “4보다 큰 수는 5와 6이야. 4는 짝수 조건으로만 들어가.”라고 보여 주었다. 이어서 짝수와 4보다 큰 수를 각각 적게 했다. 학생은 직접 짝수 {2, 4, 6}, 4보다 큰 수 {5, 6}이라고 다시 썼다.

두 조건 중 하나만 만족해도 되므로 두 집합의 결과를 합치되, 겹치는 6은 한 번만 세어야 한다. 학생은 “2, 4, 5, 6”을 남기고 유리한 결과가 4개임을 확인했다. 따라서 수정한 풀이는 4/6 = 2/3이다. 처음에는 4를 ‘4보다 큰 수’에 넣었지만, 수정 뒤에는 4를 짝수 조건으로만 포함했다는 점이 풀이의 핵심 변화다.

검산은 같은 합집합을 다시 세는 대신 반대 사건으로 진행했다. 전체 결과는 6개이고, 짝수도 아니며 4보다 크지도 않은 결과는 1과 3뿐이다. 그러므로 제외되는 확률은 2/6이고, 원하는 확률은 1 − 2/6 = 4/6 = 2/3이다. 본풀이의 결과와 다른 방식으로 같은 값을 얻었으므로, 경계 4의 처리와 유리한 결과의 개수가 서로 맞는지 함께 확인할 수 있다.

‘이거나’에서 ‘이면서’로 바꾼 적용 문제

조건을 바꾸어 공정한 주사위를 한 번 던질 때 짝수이면서 4보다 큰 수가 나올 확률을 묻는다. 앞의 문제에서는 둘 중 하나를 만족하는 결과를 모았지만, 새 문제에서는 두 조건을 동시에 만족하는 공통 결과만 골라야 한다. 학생은 먼저 “4보다 큰 수는 5와 6”이라고 정리한 뒤, 그중 짝수인 결과가 6 하나임을 스스로 표시해야 한다.

따라서 새 문제의 답은 1/6이다. 2와 4는 짝수이지만 4보다 크지 않고, 5는 4보다 크지만 짝수가 아니다. 다음에 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 경계 4가 어느 조건으로 들어오는지 먼저 구분하고, 새 문제에서 ‘또는’과 ‘동시에’의 차이에 따라 합집합 또는 공통 결과를 선택하는지 확인한다. 막히면 4보다 큰 수가 5와 6이라는 한 관계만 되짚은 뒤, 결과를 고르고 이유를 식으로 남기는지 관찰한다.