아산탕정신도시 중등수학과외

“최대공약수가 12라면, 답을 12 하나로만 적어도 될까?” 교사는 학생에게 먼저 묻는다. 이번 장면에서 중요한 것은 최대값을 찾는 데서 멈추지 않고, 그 수를 바탕으로 공약수 전체를 확인하는 것이다. 아산탕정신도시중등수학과외 수업에서는 학생이 계산 결과만 말하지 않고, 문제에서 요구한 범위를 끝까지 읽은 뒤 필요한 수를 직접 나열하도록 한다.

1과 6으로 확인한 ‘공약수 전체’와 ‘가장 큰 수’

교사는 24와 36을 제시하며 “1과 6으로 두 수를 각각 나누어 보자”라고 말한다. 학생은 24÷1=24, 36÷1=36을 적고, 24÷6=4, 36÷6=6도 계산한다. 두 경우 모두 정수 몫이 나오므로 1과 6은 두 수의 공약수이다. 교사는 이어서 “그럼 1과 6 중에서 더 큰 수만 공약수라고 부를까, 아니면 둘 다 공약수라고 할까?”라고 짧게 묻는다.

이 질문에서 학생이 6만 공약수라고 고르면, 단순한 계산 실수보다 ‘공약수’와 ‘최대공약수’를 같은 뜻으로 사용하고 있는지 확인해야 한다. 반대로 두 수를 나눈 결과는 정확히 적었는데 일부 수만 빠졌다면, 계산 과정을 한 줄씩 살피며 누락된 약수가 있는지 구분한다. 오답 하나만 보고 원인을 확정하지 않고, 학생이 문제의 기준을 어떻게 선택했는지 먼저 듣는 이유가 여기에 있다.

학생은 실제 답안에 “공약수는 12 하나이다”라고 적었다. 12를 최대값으로 찾은 부분은 맞지만, 문제는 24와 36의 최대공약수와 모든 양의 공약수를 함께 요구한다. 따라서 12 하나를 기록한 것은 최대공약수와 공약수 전체를 구분하지 못한 판단에서 달라진 것이다.

12=1×12에서 시작한 수정 풀이

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 “12를 곱셈으로 나타내면 어떤 약수 쌍이 보일까?”라고 묻는다. 학생이 바로 답하지 못하자 교사는 한 단계만 시범으로 12=1×12라고 적는다. 이어 “이제 12를 만드는 다른 곱셈 쌍을 네가 적어 보자”라고 맡긴다. 학생은 12=2×6, 12=3×4를 추가로 작성하고, 각 곱에 들어 있는 수를 모아 1, 2, 3, 4, 6, 12를 나열한다.

그다음 학생은 소인수분해를 이용해 확인한다. 24=2³×3, 36=2²×3²이므로 공통으로 사용할 수 있는 소인수의 지수는 각각 작은 쪽을 택해 2²×3=12이다. 학생은 “최대공약수는 12이고, 모든 공약수는 12의 약수이므로 1, 2, 3, 4, 6, 12이다”라고 자신의 풀이를 다시 쓴다. 처음에는 12만 적었지만, 수정한 뒤에는 최대값과 그 값을 이루는 전체 약수 목록을 분리해 기록했다.

나눗셈과 약수 관계로 답을 따로 검산하기

검산은 같은 소인수분해를 반복하는 대신 나눗셈으로 진행한다. 학생은 24÷12=2, 36÷12=3을 계산해 12가 두 수를 모두 나누는지 확인한다. 이어 12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12를 각각 두 수에 적용하면 모두 정수 몫이 나온다는 점을 말한다. 12보다 큰 수가 두 수를 동시에 나눌 수 없으므로 최대값도 12라는 결론이 유지된다.

새 문제에서는 두 자연수의 개별 값을 알려 주지 않고 “두 자연수의 최대공약수가 18이다. 두 수의 양의 공약수를 모두 구하라”라고 제시한다. 학생은 주어진 최대공약수의 약수를 먼저 찾는다는 원리를 유지해 18=1×18=2×9=3×6을 적고, 공약수를 1, 2, 3, 6, 9, 18로 정리한다. 예를 들어 두 수를 36과 54로 정하면 이 여섯 수가 모두 두 수를 나누며, 가장 큰 공약수는 18이다. 다음에는 학생이 18의 약수 쌍을 도움 없이 나열하고, 두 자연수 자체가 주어지지 않아도 최대공약수의 약수가 공약수 전체라는 기준을 스스로 선택하는지 확인한다.