탕정지구 중등수학과외

학생은 먼저 “지금 2500원이 있고 공책 한 권을 팔 때마다 1800원을 받는다. 총액을 16000원 이상으로 만들려면 최소 몇 권을 팔아야 하는가?”라는 상황을 만났다. 탕정지구중등수학과외 수업에서는 이 문제를 통해 부등식의 방향뿐 아니라, 정수 조건에서 마지막으로 어느 값을 선택해야 하는지 말로 설명하고 식으로 남기는 과정을 확인한다. 학생은 2500+1800n≥16000을 세운 뒤 1800n≥13500, n≥7.5까지 계산했다. 여기서 n은 권수이므로 0 이상의 정수이고, 7.5 이상인 가장 작은 정수는 8이다. 따라서 최소 8권을 팔아야 한다.

교사는 바로 정답을 확인하지 않고 “7권이면 총액이 얼마이고, 8권이면 얼마인가?”라고 물었다. 학생은 2500+1800×7=15100, 2500+1800×8=16900이라고 계산했다. 7권은 16000원 이상이라는 조건을 만족하지 못하고, 8권은 만족하므로 최소 8권이라는 판단이 계산으로 드러난다. 이때 학생이 단순히 8이라는 숫자를 고른 것인지, 기준을 넘는 첫 정수를 찾은 것인지 구분하기 위해 “왜 9권이 아니라 8권인가?”도 짧게 설명하게 했다. 학생은 7권은 부족하고 바로 다음 정수인 8권에서 조건을 만족한다고 답했다.

2500원에서 시작하는 하한 조건과 정수의 선택

교사는 앞의 적용 문제에서 사용한 계산을 잠시 가리고, “16000원 이상”이라는 말이 식의 어느 부분에 반영되었는지 표시하게 했다. 학생은 ‘이상’에 해당하는 기호가 ≥임을 확인하고, 2500+1800n≥16000에서 n≥7.5가 된 과정을 다시 적었다. 교사가 제공한 설명은 “하한을 넘는 최소값을 찾을 때는 기준보다 작은 바로 전 정수가 가능한지 확인하고, 조건을 만족하는 첫 정수를 확인한다”는 범위로 제한했다. 이후 학생은 7권과 8권의 비용을 직접 나란히 써서 15100원과 16900원을 비교했다.

이 비교를 마친 뒤 학생에게 조건을 바꾼 대표 문항을 제시했다. 고정 배송료 2500원, 공책 한 권 1800원일 때 총액이 16000원 이하가 되도록 살 수 있는 공책의 최대 권수를 구하는 문제다. 학생의 첫 답은 “7권 비용이 예산 이하이니 어떤 조건에서도 7권이 최대다”였다. 7권의 비용을 계산한 2500+1800×7=15100은 맞았지만, 7권이 정말 최대인지 확인하는 다음 판단이 빠져 있었다.

7권이 최대인지 보이기 위한 한 단계의 질문

교사는 “8권 비용도 확인해야 최대임을 보일 수 있을까?”라고 물었다. 학생은 처음에는 7권이 예산 안에 들어온다는 사실만 반복했지만, 자신의 설명과 실제 답안의 첫 계산을 나란히 보며 빠진 부분을 찾았다. 교사는 “가능한 값 하나의 확인은 충분하지 않다. 다음 정수가 불가능한지도 본다”라고만 설명하고, 8권의 계산은 학생이 직접 하게 했다.

학생은 권수를 n이라 두고 n이 0 이상의 정수임을 먼저 적었다. 이어 1800n+2500≤16000, 1800n≤13500, n≤7.5를 차례로 작성했다. n은 정수이므로 조건을 만족하는 가장 큰 값은 7이다. 학생은 여기서 멈추지 않고 선택한 권수와 바로 다음 권수의 비용을 함께 비교했다. 7권은 15100원으로 예산 이하이고, 8권은 2500+1800×8=16900원으로 예산을 넘는다. 따라서 최대 7권이라는 답은 한 값의 가능성뿐 아니라 다음 정수의 불가능성까지 확인한 결과다.

상한 문제와 하한 문제를 바꾸어 적용하기

두 문항에서 공통으로 유지되는 원리는 권수 n을 0 이상의 정수로 보고, 부등식을 푼 뒤 조건에 맞는 경계 정수를 고르는 것이다. 달라지는 점은 첫 문제에서는 16000원 이상을 만들기 위해 기준을 넘는 가장 작은 정수 8을 찾았고, 대표 문제에서는 16000원 이하를 유지하기 위해 기준을 넘지 않는 가장 큰 정수 7을 찾았다는 데 있다. 학생은 같은 7권과 8권의 비용을 사용하되, 어느 쪽이 조건을 만족하는지에 따라 선택 방향이 달라진다고 말로 정리했다.

다음 문제에서는 원래 문제의 풀이 부분을 가린 채 고정 배송료 2500원과 공책 가격 1800원, 예산 16000원 이하라는 조건만 다시 제시한다. 학생은 1800n+2500≤16000을 혼자 세우고, 선택한 권수와 바로 다음 권수의 비용을 함께 비교해야 한다. 교사는 정답 7권만 적었는지가 아니라 7권은 15100원, 8권은 16900원이라고 근거를 남겨 다음 정수가 불가능함을 설명하는지 확인한다.