부대동 중등수학과외

(−1)(−1)의 값을 먼저 묻는 장면

“(−1)(−1)은 얼마일까?” 교사는 다항식 전개를 시작하기 전에 짧게 질문한다. 학생은 잠시 멈춘 뒤 값을 바로 말하지 않고, 괄호 안의 부호를 다시 바라본다. 이번 수업에서 확인할 행동은 상수 제곱의 부호를 별도로 확인하는 것이다. 부대동중등수학과외 수업에서는 식을 빠르게 전개했는지만 보지 않고, 마지막 항의 부호를 결정할 때 어떤 근거를 사용했는지 말하고 적게 한다.

교사는 학생에게 “두 음수를 곱하면 부호가 어떻게 되지?”라고 다시 묻는다. 이 질문에 학생이 “양수”라고 답한다면, 상수항의 부호를 고르는 기준은 알고 있는지 확인할 수 있다. 반대로 여기서도 부호를 고르지 못한다면 단순한 계산 실수로 단정하지 않고, 두 음수의 곱이라는 관계부터 다시 확인한다. 기준은 맞게 말했는데 식의 마지막 결과만 다르면 그때는 전개 과정을 한 줄씩 살핀다.

차의 제곱 전개에서 처음 달라진 판단

이제 문제를 제시한다. “(2x−1)²을 전개하라.” 학생은 차의 제곱 형태를 보고 첫 항과 가운데 항은 바르게 처리했지만, 답안에 4x²−4x−1을 적었다. (2x)²을 4x²으로 계산하고, −2·2x·1을 −4x로 쓴 부분은 조건에 맞다. 처음 달라진 판단은 마지막 상수항이다. 학생은 1²을 쓰면서도 앞의 음수 기호를 함께 적용해 −1로 적었다.

교사는 풀이 전체를 대신 다시 쓰지 않고 학생의 시선을 마지막 항에 멈춘다. “1을 제곱한 것인가, −1을 한 번 곱한 것인가?”라고 묻고, 학생이 식을 읽으며 두 경우를 구분하게 한다. 이어서 필요한 만큼만 한 단계를 보여 준다. 차의 제곱은 (2x)²−2·2x·1+1²로 볼 수 있고, 끝의 항은 상수 1의 제곱이다. 또는 −1을 직접 두 번 곱해도 (−1)(−1)=+1이므로 상수항은 양수가 된다.

학생은 교사의 설명을 들은 뒤 마지막 부호만 고쳐 쓰지 않고, 전체 전개를 다시 적는다. (2x−1)²=(2x)²−2·2x·1+1²=4x²−4x+1. 처음 풀이와 비교하면 첫 항과 가운데 항은 그대로이고, 상수 제곱의 부호를 별도로 확인한 뒤 마지막 항만 −1에서 +1로 바뀌었다. 학생에게는 “다음 줄의 부호는 내가 결정한다”는 식으로, 상수항을 직접 확인한 이유를 짧게 설명하게 한다.

대입과 네 곱으로 결과를 다르게 확인하기

검산은 같은 전개를 다시 반복하는 방식으로 진행하지 않는다. 먼저 x=1을 원식에 넣으면 (2·1−1)²=1²=1이다. 수정한 결과에 x=1을 넣으면 4−4+1=1이 되어 원식의 값과 일치한다. 이어서 차의 제곱 공식을 외워 쓴 결과가 맞는지 네 곱으로도 확인한다. (2x−1)(2x−1)을 항별로 곱하면 4x²−2x−2x+1이고, 가운데 항을 합치면 4x²−4x+1이 된다. 대입 결과와 항별 곱셈이 모두 같은 식을 가리키므로, 마지막 상수항을 양수로 둔 판단을 확인할 수 있다.

한 괄호가 합으로 바뀐 적용 문제

같은 차의 제곱에서 조건을 하나 바꾼 문제를 제시한다. “(2x+1)(2x−1)을 전개하라.” 이번에는 두 괄호가 같은 식의 제곱이 아니므로, 학생이 차의 제곱 결과를 그대로 옮기는지 보지 않고 실제 곱셈의 가운데 항을 확인하게 한다. 학생은 네 항을 쓰며 2x와 −1을 곱한 −2x, 1과 2x를 곱한 +2x를 표시한다. 따라서 4x²−2x+2x−1에서 교차 항이 소거되고 정답은 4x²−1이다. 달라진 조건은 한 괄호가 합으로 바뀐 점이고, 유지되는 원리는 각 항의 부호와 곱을 따로 확인하는 것이다.

다음에 같은 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 오답, 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 상수 제곱의 부호를 별도로 확인한 뒤 (2x−1)²을 전개하고, 이어서 (2x+1)(2x−1)에서 가운데 항이 남는지 또는 소거되는지 스스로 표시하게 한다. 막히면 “두 음수의 곱이므로 상수항은 +1”이라는 한 관계만 되짚고 다음 줄은 학생이 결정한다. 교사는 정답만 보지 않고, 부호를 적은 근거와 교차 항을 표시한 흔적이 풀이에 남아 있는지 확인한다.