범어동 고등수학과외

근호의 정의역을 구할 때는 식의 모양만 보고 경계를 정하지 않고, 근호가 어떤 조건 아래 놓였는지 먼저 살펴야 한다. 기본 문제로 f(x)=√(2x−6)의 실수 정의역을 구한다고 하자. 이때 제곱근이 실수로 정의되려면 근호 안이 0 이상이어야 하므로 2x−6≥0, 즉 x≥3이 된다. 따라서 허용 범위는 [3,∞)이다. 그런데 근호가 분모로 이동하면 같은 근호식이 들어 있어도 결론이 달라진다.

근호 안의 경계와 분모 조건을 나란히 보기

첫 문제에서는 x=3을 포함할 수 있다. 실제로 x=3을 대입하면 근호 안은 0이고 f(3)=√0=0이므로 함수값이 정의된다. 반면 f(x)=1/√(2x−6)에서는 근호 안이 음수가 아니어야 한다는 조건에 더해 분모가 0이 아니어야 한다. 따라서 2x−6≥0만으로 끝내지 않고, √(2x−6)≠0까지 함께 확인해야 한다. 두 조건을 합치면 2x−6>0, 즉 x>3이고 정의역은 (3,∞)이다. 이는 식의 표현만 바뀐 것이 아니라, 근호값 0을 허용할 수 없는 실제 조건이 추가된 경우다.

x>3에서 멈춘 이유를 질문으로 확인하기

이렇게 답했다면 “2x−6>0에서 x>3”이라고 계산한 부분만으로 원인을 단정하지 않는다. 근호 안의 조건을 처음부터 엄격한 부등식으로 잘못 기억했는지, 아니면 분모에 놓인 근호가 0이 될 수 없다는 점을 반영했는지 구분해야 한다. 먼저 “근호 안이 0이면 제곱근은 정의되는가?”라고 묻고, 학생이 x=3을 직접 대입해 근호값을 계산하게 한다. 기본 문제에서는 0이 실제 함수값으로 가능하다는 것을 표시하고, 분모 문제에서는 같은 x=3에서 분모가 0이 되는지 따로 적게 한다.

또한 양변을 제곱하는 과정이 등장한다면 제곱 뒤의 후보가 원식에서도 허용되는지 확인해야 한다. 제곱은 부호 정보를 잃을 수 있으므로, 원식의 정의 조건과 양변의 부호를 먼저 비교하고 중간 결과를 학생의 계산표에 남긴다. 교사는 “어느 조건 때문에 3을 포함하거나 제외했는가?”를 다시 묻고, 최종 판단은 학생이 문장으로 쓰게 한다.

학생의 수정 풀이와 조건을 남긴 재적용

학생이 직접 수정하면 첫 식은 2x−6≥0에서 x≥3, 따라서 정의역은 [3,∞)라고 쓸 수 있다. x=3에서는 f(3)=0이고, x<3에서는 근호 안이 음수이므로 실수 함수가 정의되지 않는다는 검산도 덧붙인다. 이어 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 f(x)=1/√(2x−6)을 다시 제시한다. 학생은 먼저 근호 안이 0 이상이라는 조건과 분모가 0이 아니라는 조건을 각각 표시한 뒤 2x−6>0, x>3을 얻고 (3,∞)를 적는다. 마지막으로 x=3은 분모 0이라 제외되고 x>3에서는 근호와 나눗셈이 모두 가능하다고 대조한다. 다음에는 식의 모양만 바뀐 것인지 조건 자체가 달라진 것인지 먼저 표시하게 하며, 근호의 경계가 헷갈릴 때는 그 0이 함수값인지 분모인지부터 구별하도록 점검한다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이런 식으로 경계값을 직접 대입하고 조건별 결과를 나란히 기록하면, 부등호 하나를 외우는 데서 그치지 않고 정의역의 근거를 설명할 수 있다.