범어동 초등수학과외

띠를 나누고 분수의 뜻 살펴보기

다음 활동에서는 길이 15cm, 폭 1cm인 띠를 준비합니다. 이 띠를 길이가 같은 5조각으로 나눈 뒤 그중 2조각을 색연필로 칠합니다. 여기서 전체 띠 한 장을 1로 보고, 같은 크기로 나눈 조각의 수를 분모, 선택해 칠한 조각의 수를 분자로 읽으면 칠한 부분은 2/5로 나타낼 수 있습니다. 활동 전에는 아이가 실제 띠를 같은 길이로 나눌 수 있는지, 분모와 분자가 각각 무엇을 세는지 확인합니다. 이미 알고 있다고 단정하지 않고, 등분선과 색칠할 부분을 직접 살펴보며 확인하는 과정입니다.

전체를 고르는 데서 막히면 띠 한 장을 기준으로 표시하는 연습부터 합니다. 전체와 부분은 찾지만 폭이 넓어진 것을 분수의 증가로 해석한다면, 두 띠의 전체와 칠한 부분을 각각 비교합니다. 비율과 실제 넓이를 구분할 수 있게 되면 등분 수를 바꾼 자료로 이어갑니다.

폭이 넓어질 때 생기는 혼동 확인하기

이제 같은 모양의 띠를 폭 2cm가 되도록 전체적으로 넓혀 처음 그림과 비교합니다. 이때 아이가 “띠가 넓어졌으니 칠한 분수도 더 커진다”고 말할 수 있습니다. 이 답은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 길이 방향으로 나눈 5조각의 관계가 그대로이고, 전체 띠와 각 조각의 폭이 함께 1cm에서 2cm로 늘었기 때문입니다. 교사는 먼저 색칠한 두 조각과 색칠하지 않은 세 조각을 각각 짚으며 어느 부분의 개수를 세고 있는지 묻습니다. 말로 설명하기 어렵다면 아이가 두 그림의 조각을 하나씩 가리키거나 포개 보게 하여, 조각 수와 폭의 변화가 서로 다른 정보임을 확인할 수 있습니다.

자료와 식을 연결해 다시 풀기

교사는 한 그림의 전체 띠를 기준으로 표시하고, 같은 크기의 조각이 모두 5개인지 함께 확인합니다. 아이는 두 그림에서 등분된 조각을 차례로 짚고, 색칠한 조각 두 개를 따로 표시합니다. 폭이 넓어졌어도 분모는 5, 분자는 2이므로 두 그림의 칠한 비율은 모두 2/5입니다. 실제 폭은 달라졌지만 전체와 각 부분의 폭이 같은 비율로 함께 늘어났으므로 비율은 바뀌지 않습니다. 다만 실제 칠한 넓이까지 같다는 뜻은 아닙니다. 폭 1cm인 띠에서 칠한 두 조각의 넓이는 6cm²이고, 폭 2cm인 띠에서는 12cm²입니다. 전체 넓이도 15cm²에서 30cm²로 두 배가 되어 칠한 비율 2/5는 유지됩니다. 교사가 한 조각을 포개어 조작하는 모습을 보인 뒤에는 아이가 나머지 조각을 직접 맞춰 봅니다. 문제와 띠 자료는 그대로 두고 해설과 정답 표시만 가린 다음, 아이가 처음 상태처럼 5조각과 색칠한 2조각을 다시 놓아 보게 합니다. 이후 식 2/5를 쓰거나, 두 조각과 전체 다섯 조각을 가리키는 행동으로 답의 근거를 보여 주면 됩니다.

새로운 띠에서 같은 관계 확인하기

다음에는 길이 18cm, 폭 1cm인 띠를 6등분하고 그중 2조각을 칠한 자료를 사용합니다. 전체 폭을 2cm로 늘린 그림과 비교하되, 이번에는 기본 문제의 5등분이 6등분으로 바뀌었다는 점을 먼저 살핍니다. 아이는 새 띠의 조각을 포개어 같은 크기인지 확인하고, 전체 6조각 중 색칠한 2조각을 세어 두 그림의 비율이 모두 2/6임을 찾아봅니다. 마지막에는 “무엇이 달라졌고 무엇이 그대로인가?”를 자료로 보여 주게 합니다. 조각 수와 분수는 5와 2/5에서 6과 2/6으로 달라졌지만, 전체와 각 부분의 폭을 함께 늘렸을 때 칠한 비율이 유지된다는 관계는 같습니다. 필요할 때는 길이 4cm인 띠 조각 두 개를 포개었을 때 보이는 길이가 4cm이고, 빈틈없이 끝과 끝을 맞대면 8cm가 되는 비교도 선택할 수 있습니다. 이때 배치에 따라 보이는 길이는 달라도 두 조각의 길이를 더한 값은 8cm라는 점을 자료로 확인합니다.