변동 고등수학과외

짝수와 홀수 항이 그대로 남는지 먼저 확인하기

짝수 번호 항은 1, 홀수 번호 항은 −1에 그대로 머물러 전체가 한 값에 가까워지지 않는다. 이 문장은 수열의 극한을 판단할 때 항의 범위와 수렴을 구별해야 한다는 점을 정확히 보여 준다. 문제에서 $a_n=(-1)^n,\ n\ge1$의 수렴 여부를 묻는다면, 몇 항만 계산해 분위기를 정하는 것이 아니라 항 번호 $n$이 양의 정수로 커지는 과정을 살펴야 한다. 처음 몇 항은 −1, 1, −1, 1로 이어지며 모든 항이 −1과 1 사이에 있다. 그러나 일정한 구간 안에 있다는 사실만으로 한 값에 가까워진다고 할 수는 없다.

이렇게 답했다면 “−1과 1 사이이므로 0에 수렴한다”고 말했을 수 있다. 이때 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, “짝수항과 홀수항은 각각 어떤 값으로 계속 남는가?”라고 확인한다. 항의 크기가 실제로 작아지는지, 아니면 부호만 번갈아 바뀌는지 학생이 직접 표시하게 한다. 특히 $|a_n|$이 1로 유지된다는 점과 항들이 진동한다는 점을 구분해 적게 하면, 범위에 대한 판단과 수렴에 대한 판단이 어디서 갈라지는지 확인할 수 있다.

부분수열 등식으로 오답의 빠진 판단 찾기

수열에서는 $n$이 커질 때의 전체 흐름이 중요하므로, 짝수와 홀수 번호를 나누어 본다. $k\ge1$일 때 $a_{2k}=(-1)^{2k}=1$, $a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1$이다. 학생이 이 두 등식을 직접 작성하면 두 부분이 각각 서로 다른 값에 계속 머문다는 사실을 확인할 수 있다. 따라서 전체 수열이 하나의 실수에 가까워진다는 조건을 만족하지 않는다. −1과 1 사이에 있다는 부등식은 값의 범위를 말할 뿐, 극한값을 결정하는 근거가 아니다. 결국 주어진 수열의 정답은 발산, 즉 진동이다.

교사는 “항이 구간 안에 있는가?”와 “항이 한 값에 가까워지는가?”를 표에 나누어 적게 하고, 몇 항의 소수값만으로 결론 내리지 않도록 한다. 최고차항이나 공비를 비교하는 문제에서도 크기가 줄어드는지와 부호가 바뀌는지를 함께 확인해야 한다. 이 과정에서 학생은 설명을 받아 적는 데 그치지 않고, 짝수항·홀수항의 식과 각 항의 값을 직접 대조하며 자신의 판단을 수정한다.

크기는 줄어들 때 같은 진동이 어떻게 달라지는가

다음에는 기본 문제의 풀이와 정답을 보이지 않은 채 $a_n=\frac{(-1)^n}{n},\ n\ge1$과 조건만 남겨 시작한다. 먼저 경계값과 제외 조건을 표시하고, 부호가 번갈아 바뀌는 구조는 그대로인지 항의 크기는 줄어드는지 한 문장으로 적게 한다. 학생이 직접 $-\frac1n\le a_n\le\frac1n$을 세우면, 양쪽 경계가 모두 0으로 수렴하므로 끼워넣기 정리에 따라 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$임을 확인할 수 있다. 이번에는 $|a_n|=\frac1n\to0$이므로 홀수항과 짝수항이 서로 다른 값에 남는 것이 아니라 모두 0에 가까워진다.

두 문제는 부호가 번갈아 바뀐다는 표현은 같지만 실제 조건이 다르다. 첫 수열은 항의 크기가 줄지 않아 −1과 1에 머물고, 새 수열은 분모 $n$ 때문에 크기가 0으로 줄어든다. 따라서 재적용 뒤에는 이 차이를 한 문장으로 설명하게 하고, 다음 점검에서도 일반항을 정리한 뒤 홀수 번호와 짝수 번호의 항을 나누어 살피게 한다.