복수동 고등수학과외

기본 문제의 답과 풀이를 가린 뒤, 다음과 같이 다시 시작한다. “실수 a에 대해 (x−1)²=a의 서로 다른 실수해 개수를 구하라.” 먼저 학생이 a=0일 때를 떠올리며 “+√a와 −√a는 다른 수인가?”에 답하게 한다. 이 질문에 바로 숫자를 쓰기보다, √0=0이므로 +√0=−√0=0이라는 사실을 직접 계산해 표시하도록 한다. 양수일 때의 두 후보를 모든 경우에 그대로 적용한 것은 아닌지, 음수일 때 실수 제곱근을 쓸 수 있다고 생각한 것은 아닌지 자신의 풀이와 대조한다.

“항상 2개”라는 답이 조건을 놓친 이유

이렇게 답했다면 “제곱을 풀면 ±√a이므로 항상 2개”라는 풀이가 된다. 그러나 이 식에서 왼쪽 (x−1)²은 실수 x에 대해 항상 0 이상이다. 따라서 오른쪽 a가 음수이면 식을 만족하는 실수 x가 존재하지 않는다. a=0이면 x−1=0이므로 x=1 하나만 남는다. 두 부호를 썼다는 사실만으로 서로 다른 해가 두 개라고 할 수 없으며, 실제로 두 후보가 같은 수인지 확인해야 한다.

교사는 오답 하나만 보고 원인을 확정하지 않고, “a=0에서 +√a와 −√a는 다른 수인가?”, “a<0일 때 실수의 제곱이 음수가 될 수 있는가?”라고 묻는다. 학생은 각 경우의 오른쪽 값을 직접 적고, 후보를 원래 식에 대입해 성립 여부를 표시한다. 이 과정에서 양수에서는 두 수가 서로 다르고, 0에서는 하나로 겹치며, 음수에서는 실수 후보 자체가 없다는 차이를 확인한다.

오른쪽 값에 따라 해의 개수를 나누어 쓰기

학생이 직접 수정한 풀이는 다음과 같다. a<0이면 실수의 제곱이 음수가 될 수 없으므로 해는 0개이다. a=0이면 (x−1)²=0에서 x=1이므로 해는 1개이다. a>0이면 x−1=±√a이고, 두 값이 서로 다르므로 x=1−√a, 1+√a의 두 해를 얻는다. 따라서 정답은 a<0에서 0개, a=0에서 1개, a>0에서 2개이다.

검산은 일부 수를 대입하는 데 그치지 않고 성립 조건으로 확인한다. 제곱의 비음성 때문에 a<0은 배제되고, a=0에서는 두 부호의 값이 일치하며, a>0에서는 √a>0이므로 두 후보가 서로 다르다. 이렇게 경계값 a=0을 따로 확인해야 “항상 두 해”라는 표현을 고칠 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답보다 해의 개수가 달라지는 조건을 먼저 설명하게 한다.

범위 조건을 추가해 풀이를 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴다. “실수 a에 대해 (x−1)²=a, x≥1을 만족하는 서로 다른 실수해 개수를 구하라.” 앞의 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 학생이 제곱식의 후보를 다시 구하고 범위까지 대조한다. a<0이면 해가 없다. a=0이면 x=1 하나이다. a>0이면 후보 1−√a와 1+√a 중 1−√a는 1보다 작으므로 제외되고, 1+√a만 식과 범위를 모두 만족한다.

따라서 새 조건에서는 a<0일 때 0개, a≥0일 때 1개이다. 이는 풀이 방법이 바뀐 것이 아니라 x≥1이라는 실제 조건이 추가되어 후보를 걸러낸 결과다. 단순히 식의 모양만 바뀐 경우와 범위처럼 해의 허용 여부를 바꾸는 조건을 구별해야 한다. 마지막으로 학생이 설명을 덮은 채 처음 오답을 스스로 고치고, a=0의 두 부호가 같은 이유와 새 문제의 범위 판정을 함께 말할 수 있는지 확인한다. 여전히 항상 두 해라고 한다면 음수·0·양수의 예를 각각 식으로 확인하며 다음 학습으로 연결한다.