석사지구 고등수학과외

“α 안의 x축 방향 직선과 ℓ도 수직인가?”

평면 α가 z=0이고 직선 ℓ이 {(t,0,t):t∈R}, 직선 m이 {(0,s,0):s∈R}일 때, “ℓ이 m에 수직이므로 α에도 수직이다”라는 주장을 판단해 보자. 먼저 “α 안의 x축 방향 직선과 ℓ도 수직인가?”라고 묻는다. m의 방향벡터는 (0,1,0), ℓ의 방향벡터는 (1,0,1)이므로 내적은 0이다. 따라서 ℓ과 m의 방향은 수직이다. 그러나 이 사실 하나만으로 ℓ이 평면 α에 수직이라고 결론 내릴 수는 없다. 이렇게 답했다면, 눈에 보이는 모양이나 한 직선과의 관계만으로 평면 전체의 관계를 판단했는지 확인하기 위해 처음 쓴 식과 답변을 직접 대조한다.

평면 안의 두 방향을 직접 비교하기

직선이 평면에 수직이 되려면 그 평면 안에서 서로 만나는 두 직선의 방향에 모두 수직이어야 한다. α 안에는 x축 방향의 직선이 있고 그 방향벡터는 (1,0,0)이다. ℓ의 방향벡터 (1,0,1)과 내적하면 1이므로 두 방향은 수직이 아니다. 따라서 ℓ은 m에는 수직이지만 α에는 수직이 아니다. 정답은 주장 거짓이다. 평면 α의 법선 방향이 (0,0,1)이라는 점과 비교해도 ℓ의 방향이 그 방향과 평행하지 않으므로 같은 결론을 얻는다. 교사는 기준이 되는 두 방향을 보여 주되, 학생이 내적을 계산하고 어느 조건에서 막혔는지 직접 표시하게 한다. 한 직선과 수직이라는 조건과 평면에 수직이라는 조건을 같은 말처럼 옮기지 않는 것이 핵심이다.

표현이 바뀐 공간 관계를 다시 판별하기

이제 문제와 조건만 남긴다. 직선 ℓ={(t,0,0):t∈R}, m={(0,s,1):s∈R}의 위치 관계를 구하라. 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생은 먼저 ℓ의 방향이 x축 방향 (1,0,0)이고, m의 방향이 y축 방향 (0,1,0)임을 적는다. 방향은 서로 평행하지 않다. 다음으로 교점이 있는지 확인한다. ℓ 위 점은 z=0이고 m 위 점은 z=1이므로 두 직선은 만날 수 없다. 방향이 다르고 교점도 없으므로 두 직선의 위치 관계는 꼬인 위치이다. 방향이 수직처럼 보인다는 이유만으로 만나는 직선이나 같은 평면 위의 직선으로 분류하지 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 앞 문제의 “평면 안의 두 방향을 확인한다”는 근거를 새 문제에 그대로 복사하지 않고, 직선끼리의 관계에 맞게 방향과 교점으로 조정해 쓰는지 확인한다. 마지막에는 첫 문제의 자료를 다시 보되 풀이와 정답은 가린 채, “ℓ이 m에 수직이면 왜 α에도 수직이라고 할 수 없는가?”를 근거와 함께 다시 적게 한다. 정사영을 추측할 때도 모양만 보지 말고 꼭짓점 좌표나 대상 평면에 내린 수선의 발을 먼저 구하도록 이어 간다.