연희지구 고등수학과외

달라진 조건의 문제에서 먼저 확인할 것

수열의 극한을 공부할 때는 비슷해 보이는 식이라도 근호 안의 차이가 무엇인지 먼저 살펴야 한다. 예를 들어 이렇게 답했다면, $a_n=\sqrt{n^2+1}-n$, $n\ge1$의 극한을 구하는 문제에서 무한대끼리 빼므로 0이라고 판단했을 수 있다. 그러나 두 항이 각각 커진다는 사실만으로 그 차의 극한을 정할 수는 없다. 켤레식을 곱해 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$으로 바꾸면 분모가 계속 커지므로 결론은 0이다. 또 $n\ge1$에서 $0<a_n\le\frac1{2n}$이므로 0으로 수렴한다는 비교도 가능하다. 여기서 학생에게 “근호 안의 상수 1은 유리화한 뒤 분자에 어떻게 남는가?”를 직접 적게 하면, 단순한 인상과 식의 구조를 구별할 수 있다. 같은 표현처럼 보여도 근호 안의 차이가 $n$인지 상수인지에 따라 결과가 달라진다.

기본 문제로 무한대끼리의 차를 다시 세우기

이제 조건을 바꾸기 전의 문제로 돌아가 $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$, $n\ge1$의 극한을 구한다. “두 항이 무한대이니 차는 0”이라는 오답이 나왔다면, 바로 정답을 알려 주기보다 “켤레식을 곱하면 큰 항의 차가 어떤 비가 되는가?”라고 묻는다. 학생은 다음과 같이 직접 계산한다. $a_n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$. $n\ge1$이므로 $n$을 근호 밖으로 꺼낼 때 부호가 양수라는 조건을 확인하고, 분자와 분모를 $n$으로 나누어 $a_n=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}$로 정리한다. 따라서 분모의 극한은 2이고 극한은 $\frac12$이다. 학생이 항이 작아지거나 일정한 구간에 있다는 사실을 수렴과 혼동하는지, 또는 특정 몇 항의 소수값만 보고 판단하는지도 함께 확인한다.

가린 풀이로 다시 적용하고 다음 판단을 준비하기

마지막에는 기본 문제의 식과 $n\ge1$이라는 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생은 먼저 켤레식을 곱해야 하는 이유를 말하고, 계산 결과와 성립 조건을 각각 적은 뒤 $\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}$의 분모가 2로 간다는 근거를 써야 한다. 이어 조건을 바꾼 $\sqrt{n^2+1}-n$을 같은 방식으로 풀며, 이번에는 유리화 뒤 분모가 무한히 커져 0이 된다는 차이를 설명한다. 몇 항의 소수값만으로 결론을 내리려 한다면 일반항을 정리하게 하고, 진동 가능성이 있는 수열이라면 홀수 번호와 짝수 번호의 항을 나누어 거동을 대조하게 한다. 이렇게 계산식, 부호와 정의 조건, 일반적인 극한 근거를 차례로 점검하면 무한대끼리의 차를 무조건 0으로 처리하지 않고 문제의 구조에 따라 판단할 수 있다.