춘천 중등수학과외

“덧셈이면 답은 항상 양수일까?”

수업은 학생에게 “연산 기호와 두 수의 부호를 따로 읽어 볼까?”라고 묻는 장면에서 시작했다. 학생은 수직선의 한 점에서 오른쪽과 왼쪽으로 이동할 때 방향이 어떻게 정해지는지 바로 고르지 못했다. 그래서 교사는 먼저 “(−1)+(−1)도 양수일까?”라고 짧게 물었다. 학생이 “−2”라고 답한다면, 덧셈이라는 연산과 계산 결과의 부호는 같은 기준으로 정하는 것이 아니라고 말하게 한다. 춘천중등수학과외 수업에서도 이처럼 학생이 기호를 한 덩어리로 읽는지, 연산 기호와 각 수의 부호를 나누어 읽는지를 먼저 확인한다.

−3에서 부호가 달라질 때 이동 방향 비교하기

새 조건을 넣은 문제는 수직선의 −3에서 +5를 더한 위치와 −3에 −5를 더한 위치를 각각 구하는 것이다. 출발점과 이동하는 칸 수는 같지만, 더하는 수의 부호에 따라 방향이 달라진다. 교사는 아직 답을 대신 말하지 않고 “+5를 더하면 어느 방향으로 몇 칸 갈까?”, “−5를 더하면 방향이 어떻게 바뀔까?”라고 묻는다. 학생은 +5일 때 오른쪽 다섯 칸을 이동해 2를 쓰고, −5일 때 왼쪽 다섯 칸을 이동해 −8을 쓴다. 이 과정에서 출발점 −3과 이동 간격 5는 그대로 두고, 더하는 수의 부호만 이동 방향을 바꾼다는 점을 표시한다.

처음 풀이에서 달라진 판단 찾기

비교할 대표 문제는 (−8)+5의 값을 구하고 수직선 이동으로 설명하는 문제다. 학생의 처음 답안에는 “덧셈이므로 답은 +3이다.”라고 적혀 있었다. 덧셈 기호를 확인한 부분은 맞지만, 그 기호를 결과가 양수라는 뜻으로 해석한 것이 처음 달라진 판단이다. 교사는 “덧셈 기호가 알려 주는 것은 무엇이지?”, “두 수의 부호는 각각 어떻게 생겼지?”라고 다시 질문한다. 학생이 (−1)+(−1)의 결과를 −2라고 말할 수 있는지 함께 확인하면, 개념을 말로 구분하는지와 실제 식에서 부호를 놓친 것인지를 나누어 볼 수 있다.

교사는 한 단계만 시범으로 보인다. −8에서 시작해 오른쪽으로 5칸 이동하면 −3에 도착한다. 따라서 (−8)+5=−3이다. 이때 “덧셈 기호는 두 수를 더하라는 뜻이지, 결과를 양수로 정하지는 않아.”라고 설명한다. 이후에는 학생이 연산 기호와 두 수의 부호를 따로 읽도록 맡긴다. 학생은 먼저 “연산은 덧셈이고, 첫 수는 −8, 더하는 수는 +5”라고 말한 뒤, −8에서 오른쪽 다섯 칸을 표시하고 −3을 직접 적는다.

수정한 식을 다른 방법으로 검산하기

학생이 고쳐 쓴 식은 −8에서 오른쪽으로 5칸 이동하면 −3, (−8)+5=−3이다. 같은 수직선 이동을 되풀이하지 않고, 역연산으로 답을 확인한다. 결과 −3에서 더했던 5를 빼면 −3−5=−8이 되어 처음 출발한 수가 복원된다. 이 검산은 답이 −3이라는 사실만 반복하는 것이 아니라, 결과에서 이동량을 되돌렸을 때 출발점 −8이 나오는지를 확인한다. 학생이 “덧셈 기호와 결과의 부호는 따로 읽어야 한다”고 설명하면서 식을 적는지, 또는 답만 고쳐 쓰는지를 구분해 기록한다.

다음 문제에서는 −3에서 +5를 더한 위치와 −3에 −5를 더한 위치를 도움 없이 각각 구하게 한다. 학생은 먼저 연산 기호와 두 수의 부호를 따로 읽고, +5이면 오른쪽 다섯 칸으로 2, −5이면 왼쪽 다섯 칸으로 −8을 적어야 한다. 이어 2−5=−3, −8−(−5)=−3을 써서 출발점이 복원되는지도 확인한다. 교사는 학생이 같은 기준을 스스로 고르는지, 부호가 바뀌었을 때 이동 방향도 함께 바꾸는지, 필요한 경우 “덧셈 기호는 결과를 양수로 정하지 않는다”는 한 관계만 되짚은 뒤 다음 줄을 직접 결정하는지를 관찰한다.