칠성동 고등수학과외

“10³ 이상 10⁴ 미만인 정수는 몇 자리인가?”라고 먼저 물었을 때, 답을 바로 고르는 것보다 10의 거듭제곱과 자릿수의 관계를 말해 보게 한다. 10³ 이상 10⁴ 미만의 정수라면 1000부터 9999까지이므로 모두 네 자리이다. 이 짧은 문답을 기준으로 로그값의 정수부분과 실제 자릿수가 같은지 확인하면서 풀이를 이어 간다.

로그값 3.010을 자릿수로 옮기는 과정

문제는 log₁₀2≈0.3010일 때 양의 정수 2¹⁰의 자릿수를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면, “10·0.3010=3.010이므로 3자리”라고 판단한 셈이다. 여기서는 계산 자체가 틀린 것이 아니라 3.010이라는 로그값을 자릿수로 바로 읽은 부분을 확인해야 한다. 양의 정수 N이 10ᵏ≤N<10ᵏ⁺¹을 만족하면 N의 자릿수는 k+1이라는 기준을 먼저 세운다.

따라서 log₁₀(2¹⁰)=10log₁₀2≈3.010이다. 3<3.010<4이므로 로그의 성질에 따라 10³<2¹⁰<10⁴이다. 이때 2¹⁰은 1000보다 크고 10000보다 작은 정수이므로 자릿수는 3이 아니라 4이다. 교사는 10ᵏ와 10ᵏ⁺¹ 사이를 자릿수로 바꾸는 기준을 보여 주고, 실제로 어느 구간에 놓이는지 계산하고 답을 선택하는 일은 학생이 직접 하게 한다.

오답의 원인을 질문으로 확인하기

한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고 “10³ 이상 10⁴ 미만인 정수는 몇 자리인가?”, “3.010은 수의 자릿수인가, 로그값인가?”라고 묻는다. 학생은 10³=1000, 10⁴=10000을 직접 적고, 처음 쓴 3자리라는 답과 비교한다. 이어 10log₁₀2≈3.010이라는 식에서 로그값과 자릿수를 구분했는지, 또는 연속한 10의 거듭제곱 사이의 범위를 자릿수로 옮기는 단계를 빠뜨렸는지 표시해 본다.

확인 질문만 남긴 상태에서 학생이 “log₁₀(2¹⁰)≈3.010, 따라서 10³<2¹⁰<10⁴”를 처음부터 세우면 자릿수는 4라고 수정할 수 있다. 직접 2¹⁰=1024를 계산해 네 자리임을 대조하는 것은 검산으로 유용하지만, 일반적인 판단의 근거는 10³과 10⁴ 사이의 범위이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 답을 외우는 데서 멈추지 않고, 조건을 식과 구간으로 바꾸는 과정을 확인한다.

조건을 바꿔도 같은 경계를 적용하기

풀이와 정답을 가리고 문제의 조건과 필요한 log₁₀2≈0.3010만 남겨 두고 다시 시작한다. 이번에는 2⁻¹⁰의 소수점 아래 처음 0이 아닌 숫자가 나오는 자리를 묻는다. log₁₀(2⁻¹⁰)≈−3.010이고 −4<−3.010<−3이므로 10⁻⁴<2⁻¹⁰<10⁻³이다. 따라서 처음 0이 아닌 숫자는 소수점 아래 넷째 자리에 나온다.

실제로 2⁻¹⁰=1/1024이므로 1/10000<1/1024<1/1000이고, 1/1024=0.0009765625에서 넷째 자리가 처음 0이 아닌 자리임을 확인할 수 있다. 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 정수의 자릿수에서 소수의 위치로 질문이 달라졌으므로, 같은 로그 경계 읽기를 새로운 조건에 적용했는지가 중요하다. 다음 점검에서는 학생이 두 연속한 10의 거듭제곱을 직접 정하고, 그 구간이 정수 자릿수인지 소수점 아래 위치인지 구별해 설명하게 한다.