팔공산 고등수학과외

수열의 합 문제에서 $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$를 증명하라고 했을 때, 이렇게 답했다면 어떨까. $n=1,2,3$을 대입해 모두 맞으므로 모든 자연수 $n$에서 참이라고 끝내는 방식이다. 실제 계산은 각각 $1=1^2$, $1+3=4=2^2$, $1+3+5=9=3^2$로 맞지만, 이 결과만으로는 확인하지 않은 다음 항까지 같은 관계가 이어진다고 말할 수 없다. 배움노트 고등수학 수업에서는 맞는 수치를 찾았는지와 모든 자연수에 대한 증명을 완성했는지를 나누어 살핀다.

몇 항의 관찰과 모든 경우의 증명을 구별하기

풀이를 곧바로 고치기보다 먼저 “확인하지 않은 다음 항까지 이어지는 식을 쓸 수 있는가?”라고 묻는다. 학생이 $n=1,2,3$의 계산과 임의의 자연수에 대한 명제를 혼동했는지, 또는 다음 항을 어떤 식으로 연결해야 하는지 모르는지 확인하기 위해서다. 학생은 $n=4$의 합도 직접 계산해 보되, $1+3+5+7=16=4^2$라는 한 번의 확인이 증명 전체를 대신하지 못한다는 점을 표시해야 한다. 합의 마지막 항이 $2n-1$이고, 다음 항은 현재 항의 규칙에 따라 $2n+1$이 된다는 관계도 함께 적어 본다.

시작 명제와 다음 단계의 조건을 이어 쓰기

수학적 귀납법은 시작 명제가 참인지 확인한 뒤, 임의의 $k$에서 참이라고 가정했을 때 $k+1$에서도 참임을 보이는 방식이다. 먼저 $n=1$이면 $1=1^2$이므로 참이다. 이제 $k\ge1$에서 $1+3+\cdots +(2k-1)=k^2$라고 가정한다. 다음 합은 여기에 다음 홀수 $2k+1$을 더한 것이므로 $1+3+\cdots +(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2$이다. 여기서 교사가 모든 줄을 대신 채우기보다 학생이 주어진 조건과 다음 항의 관계를 직접 적게 한다. 시작과 $k\to k+1$의 연결이 모두 있어야 하므로, 몇 항을 계산한 것과 귀납 증명을 분명히 구별할 수 있다.

정답을 가린 뒤 조건을 남겨 다시 확인하기

완성된 결론은 모든 자연수 $n\ge1$에서 등식이 성립한다는 것이다. 검산할 때는 $n=1$의 시작과 임의의 $k\ge1$에서 $k+1$로 넘어가는 식을 각각 대조한다. 그다음에는 문제와 $n\ge1$이라는 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 이번에는 $2^n\ge n+1\;(n\ge1)$을 귀납법으로 증명해 본다. $P(1)$은 $2\ge2$로 참이고, $2^k\ge k+1$을 가정하면 $2^{k+1}=2\cdot2^k\ge2k+2\ge k+2$이다. 마지막 부등식은 $k\ge1$에서 성립하므로 증명 범위와도 맞는다. 같은 귀납 구조라도 합의 다음 항을 더하는 경우와 지수식에 조건을 곱해 부등식을 잇는 경우는 다르다는 점을 확인한다. 학생이 계산 결과와 성립 조건을 각각 적고, 임의의 $k$에서 다음 단계로 가는 식을 스스로 작성할 때 비로소 처음의 오답이 왜 부족했는지 설명할 수 있다.