달서구 초등수학과외

앞에서 보이는 큐브만 세면 될까?

교육용 예시로, 한 변이 1cm인 정육면체 큐브를 가로 3개, 세로 2개씩 놓아 한 층을 만들고 같은 층을 높이 방향으로 3층 쌓는 활동을 생각해 보겠습니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 앞에서 보이는 큐브나 겉으로 드러난 면만 세어 부피를 구하려고 한다면, 안쪽과 위층에 있는 큐브가 빠질 수 있습니다. 이때 교사는 먼저 한 층의 모양을 보여 주고, 가로로 3개, 세로로 2개가 놓였다는 것을 함께 확인합니다. 한 층의 큐브 수는 3×2=6개이고, 이 층이 위로 3번 반복됩니다. 따라서 전체 큐브 수는 3×2×3=18개이며, 큐브 하나의 부피가 1cm³이므로 전체 부피는 18cm³입니다.

물건을 떼어 내어 한 층과 층 수를 연결하기

활동 전에는 아이가 한 변 1cm인 정육면체의 부피를 어떻게 이해하는지, 그리고 쌓인 모형을 층별로 나누어 각 층의 큐브 수를 셀 수 있는지 확인합니다. 이것을 이미 알고 있다고 단정하지 않고, 실제 큐브를 하나씩 짚어 보며 확인합니다. 교사는 모형에서 한 층을 조심스럽게 떼어 내 “이 층에는 큐브가 몇 개 있을까?”라고 묻고, 아이가 가로 방향으로 3개, 세로 방향으로 2개를 세거나 배열을 그려 보게 합니다. 아이가 앞면의 큐브만 세려고 하면, 교사는 한 층을 들어 올려 안쪽에도 큐브가 있다는 것을 보여 줍니다. 한 층의 6개를 확인한 뒤에는 그 층을 다시 놓고, 같은 모양의 층이 아래·가운데·위에 모두 있다는 점을 살핍니다.

아이가 말로 “6을 세 번 더한다”고 설명하기 어렵다면, 층을 하나씩 옮겨 6개씩 세 묶음으로 나누어도 됩니다. 아이가 6개짜리 층을 세 번 만들고, 6+6+6을 6×3으로 나타내면 한 층의 개수에 층 수를 곱하는 의미가 드러납니다. 이때 큐브의 크기도 함께 확인합니다. 큐브 하나가 1cm×1cm×1cm인 정육면체이므로 부피는 1cm³이고, 18개의 단위 큐브가 빈틈없이 채운 공간은 18cm³입니다. 위치가 안쪽에 있어 보이지 않는 큐브도 빠진 것이 아니라 전체 공간을 채우는 재료에 포함됩니다.

해설을 가린 뒤 모형으로 다시 풀기

교사가 한 층을 떼어 내고 세는 방법을 시범 보인 뒤에는 문제와 필요한 큐브 모형은 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 놓아 보게 합니다. 아이는 가로 3개와 세로 2개를 놓아 한 층을 만들고, 같은 층을 높이 방향으로 3번 쌓습니다. 이어서 층별로 6개씩 표시하거나 종이에 6, 6, 6을 적고, 3×2×3을 계산합니다. 교사는 “왜 한 층의 수에 3을 곱했을까?”라고 묻고, 아이가 각 층을 가리키거나 직접 옮기는 행동으로 같은 크기의 층이 반복된다는 근거를 보여 주는지 확인합니다. 답만 18이라고 적는 것보다, 6개짜리 층 세 개와 18개의 큐브를 서로 대응시키는지가 중요합니다.

만약 아이가 3×2만 계산해 6cm³이라고 쓴다면, 한 층의 넓이와 여러 층이 채운 부피를 구분할 수 있도록 모형을 층별로 다시 나누어 봅니다. 반대로 겉에서 보이는 큐브 수만 세어 답을 정하려 한다면, 숨겨진 큐브를 꺼내어 전체 개수에 포함시키게 합니다. 이 과정에서 어느 부분에서 막혔는지는 말만으로 정하지 않고, 아이가 층을 세는지, 큐브를 빠뜨리지 않는지, 식의 각 수를 모형의 가로·세로·높이와 연결하는지를 함께 살펴봅니다.

조건이 달라진 새 모형에 적용하기

이어서 한 변이 1cm인 큐브를 가로 4개, 세로 2개씩 한 층에 놓고, 같은 층을 3층 쌓은 새 모형을 제시합니다. 기본 문제와 달라진 것은 한 층의 가로 개수가 3개에서 4개로 바뀐 점이고, 층 수와 큐브의 크기는 그대로입니다. 아이는 먼저 한 층의 큐브 수를 4×2=8개로 확인한 뒤, 그 층이 3번 반복된다는 것을 모형으로 보여 주며 4×2×3=24를 계산합니다. 따라서 부피는 24cm³입니다.

추가로 모형을 수평으로 돌려 가로와 세로 방향을 바꾸어도 큐브의 개수는 달라지지 않는지 살펴볼 수 있습니다. 가로 3개, 세로 2개, 높이 3개인 모형을 돌려도 3×2×3과 2×3×3은 모두 18cm³를 나타냅니다. 다음에는 숫자만 기억해 답하는지, 새 자료에서 한 층의 큐브 수와 반복되는 층 수를 직접 세고 가리키며 부피를 구하는지 확인합니다.