달서구 고등수학과외

“몫의 미분에서 분모 전체가 몇 제곱이 되는가?”라는 질문으로 시작한다. 학생이 “분모를 한 번 제곱합니다”라고 답했다면, 바로 정답을 알려 주기보다 처음 쓴 식과 그 답변을 나란히 대조하게 한다. 반대로 “분자를 분모로 나누어 각각 미분하면 되나요?”라고 했다면, 공식을 알고 있는지와 적용 순서를 구분해 확인한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 식의 구조를 직접 표시하도록 연결한다.

분모 전체의 제곱과 뺄셈 순서 확인하기

문제는 f(x)=x/(x²+1), x∈R의 도함수를 구하는 것이다. 먼저 분자 u(x)=x, 분모 v(x)=x²+1로 지정하고, v(x)≠0인 곳에서 (u/v)′=(u′v−uv′)/v²를 쓴다. 학생이 제시한 예시 오답은 [(x²+1)−2x²]/(x²+1)이다. 이 식에서는 분자에 들어갈 두 곱은 어느 정도 나타났지만, 분모 전체가 제곱되지 않았다. 또 분자와 분모를 각각 미분해 나눈 것인지, 분모의 제곱과 뺄셈 순서를 놓친 것인지 확인 질문을 던진다.

교사는 기준이 되는 두 줄을 보여 준다. 분자는 1·(x²+1)−x·2x, 분모는 (x²+1)²이다. 학생은 괄호 안의 두 항을 직접 표시하고, 첫 곱에서 u′v가 맞는지, 둘째 곱에서 uv′가 맞는지 말로 확인한다. 이 과정을 거치면 단순히 공식을 외우는 대신 어느 자리에 무엇이 들어가는지 계산으로 판단할 수 있다.

학생이 수정한 식을 조건과 함께 검산하기

학생이 이어서 f′(x)={1−x²}/{(x²+1)²}라고 정리했다면, 먼저 분자 1·(x²+1)−x·2x를 전개해 1−x²가 되는지 직접 계산하게 한다. 이어 분모가 (x²+1)²인지 원래 식과 대조한다. x²+1은 모든 실수에서 양수이므로 주어진 정의역 x∈R에서 분모가 0이 되는 지점은 없다. 따라서 도함수는 모든 실수에서 성립한다.

수치 대입은 전체 식을 대신하는 근거가 아니라 부분 검산으로 사용한다. 예를 들어 x=0을 대입하면 수정한 식은 1이고, 원래 몫을 차분몫으로 확인할 때도 x=0 부근에서 같은 값으로 가까워지는지 살필 수 있다. 더 일반적으로 직접 차분몫을 정리하면 분모의 두 인수가 같은 값으로 수렴하므로 분모가 제곱으로 나타나는 구조를 확인할 수 있다. 학생은 계산 결과뿐 아니라 분모가 0이 되지 않는 이유도 함께 적는다.

표현이 달라져도 같은 근거로 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 문제 자료는 f(x)=(x+1)/(x−1), x≠1의 도함수를 구하는 것이다. 이는 식의 표현과 조건이 달라진 것이지, 몫의 미분법 자체가 바뀐 것은 아니다. 학생은 먼저 u=x+1, v=x−1을 지정한 뒤 u′v−uv′와 v²을 두 줄에 쓴다. 분자는 (x−1)−(x+1)=-2가 되고, 분모는 (x−1)²이므로 f′(x)=−2/(x−1)², x≠1이다.

학생이 풀이를 끝내면 정답을 공개하기 전에 분모 제곱을 표시했는지, x=1을 정의역에서 제외했는지 대조한다. 1+2(x−1)⁻¹로 식을 바꾸어 미분해도 −2(x−1)⁻²가 되므로 같은 결과인지 확인할 수 있다. 마지막으로 학생은 “분모 전체를 제곱하고, 분자는 u′v−uv′ 순서로 쓴다”는 근거를 다시 적는다. 다음 점검에서는 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 근거를 스스로 조정해 쓰는지 살피며, 반복해서 틀리면 u와 v를 먼저 지정하는 절차부터 다시 확인한다.