도안신도시 고등수학과외

“3x²항이 있으니 모든 a”라는 판단에서 시작하기

미적분Ⅰ에서 평균값 정리와 증가·감소를 함께 다룰 때 자주 나오는 문제는 실수 a에 대해 f(x)=x³+ax가 실수 전체에서 증가하도록 하는 a의 범위를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “f′(x)=3x²+a에서 3x²항이 있으니 모든 a”라는 생각이 출발점이 된다. 그러나 제곱항이 있다는 사실만으로 도함수가 모든 x에서 음이 아닌 것은 아니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 어떤 조건이 빠졌는지부터 확인한다.

먼저 “x=0에 가까운 곳에서 a<0이면 f′(x)의 부호는 어떻게 되는가?”라고 묻는다. 학생은 x=0을 직접 대입해 f′(0)=a를 계산하고, a가 음수일 때 0 주변에서도 3x²의 값이 충분히 작아 f′(x)가 음수가 되는 구간이 있음을 표시한다. 이 과정은 한 점에서 계산한 값과 구간 전체의 부호를 구별하는 확인이다. 또한 증가·감소를 판단할 때 평균값 정리의 조건을 살핀다. 다항함수 f는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능하므로, 임의의 두 점 사이에 평균값 정리를 적용할 수 있다. 따라서 구간에서 도함수가 음이 아닌지 확인해야 증가를 말할 수 있다.

도함수의 최솟값을 찾아 조건을 다시 세우기

학생이 다음 등식을 직접 적도록 한다. f′(x)=3x²+a이다. 실수 전체에서 3x²의 최솟값은 x=0에서 0이므로 f′의 최솟값은 a이다. 따라서 모든 실수 x에서 f′(x)≥0이 되려면 a≥0이어야 한다. a<0이면 f′(0)=a<0이고, 0에 충분히 가까운 값에서도 도함수가 음수이므로 그 주변에서는 함수가 감소한다. 그러므로 실수 전체에서 증가하려면 a≥0이 필요하다.

반대로 a≥0이면 f′(x)=3x²+a≥0이 모든 실수에서 성립한다. 평균값 정리에 따라 임의의 x₁<x₂에 대해 f(x₂)-f(x₁)=f′(c)(x₂-x₁)≥0이므로 f는 증가한다. 특히 a=0일 때 도함수는 x=0에서만 0이지만 f(x)=x³은 실수 전체에서 엄격히 증가한다. 도함수가 한 점에서 0이라는 이유만으로 극값이라고 할 수 없고, 도함수가 비음수라는 사실만으로 엄격한 증가를 바로 단정해서도 안 된다. 이 문제에서는 두 점의 함수값을 비교하거나 평균값 정리를 통해 증가를 확인한다. 정답은 a≥0이다.

구간이 바뀌면 최솟값의 위치도 다시 확인하기

같은 식이라도 조건이 실수 전체가 아니라 [1,2]에서 증가하라고 바뀌면 풀이의 핵심은 그대로 두고 도함수의 최솟값을 허용 구간 안에서 다시 찾아야 한다. 문제를 풀이와 정답을 가린 상태로 남겨 두고, 먼저 “f′의 부호를 조사할 구간은 어디인가?”와 “경계값에서 어떤 조건이 나오는가?”를 표시하게 한다. [1,2]에서 f′(x)=3x²+a이고 3x²는 x=1에서 최솟값 3을 가지므로 f′의 최솟값은 3+a이다. 따라서 a≥−3이면 구간 전체에서 f′(x)≥0이어서 증가한다.

a<−3이면 f′(1)=3+a<0이고 1의 오른쪽 작은 구간에서도 도함수가 음수가 되어 증가할 수 없다. 그러므로 정답은 a≥−3이다. a=−3일 때는 f′(1)=0이지만 x>1에서는 f′(x)=3x²−3>0이므로 함수는 [1,2]에서 증가한다. 실수 전체 문제와 구간 문제의 표현만 바뀐 것이 아니라, 도함수의 최솟값을 조사하는 범위가 실제로 달라진 것이다. 다음 문제에서도 먼저 조건과 구간을 남기고, 경계값과 제외되는 경우를 표시한 뒤 인접 구간의 부호를 직접 대조하게 한다.