산곡동 초등수학과외

7cm×3cm 직사각형에서 생긴 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 1cm² 모눈 종이 위에 가로 7cm, 세로 3cm인 직사각형을 놓고, 경계를 따라 실을 대어 변의 길이를 확인합니다. 같은 모양을 가는 펜과 굵은 펜으로 각각 표시한 뒤 “테두리 선을 굵게 칠하면 직사각형의 정해진 넓이도 바뀔까?”를 살펴봅니다. 아이가 굵어진 선을 보고 안쪽 공간까지 넓어졌다고 말할 수 있지만, 이때는 실제 도형의 변과 펜으로 표시한 선을 구분해 볼 필요가 있습니다.

테두리 길이와 내부를 덮는 넓이 구분하기

교사는 먼저 직사각형의 바깥 변을 따라 실을 움직이며 테두리의 길이를 확인하게 합니다. 이어 모눈 종이의 내부 칸을 하나씩 짚어 보거나 작은 모형을 빈칸에 옮겨 놓으며, 넓이는 도형 안쪽을 1cm² 칸으로 덮은 양이라는 점을 연결합니다. 경계를 따라 재는 것은 길이이고, 내부를 덮는 칸의 수는 넓이이므로 단위도 다릅니다. 아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사가 한 변과 내부 칸을 차례로 가리키고, 아이는 실을 경계에 놓거나 칸 모형을 안쪽에 옮겨 놓으며 두 양을 구별해도 됩니다.

이 직사각형의 넓이는 가로 7cm와 세로 3cm를 곱한 7×3=21cm²입니다. 가는 펜으로 표시했을 때도, 굵은 펜으로 표시했을 때도 주어진 도형의 변과 경계가 7cm×3cm라는 조건은 그대로입니다. 따라서 표시선의 굵기는 새 변의 길이나 새로운 도형의 조건으로 계산하지 않으며, 정해진 도형의 넓이는 21cm²입니다. 굵은 선이 눈에 더 넓게 보이는 것과 실제 도형 내부의 넓이가 늘어나는 것은 다른 일입니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 확인하는 과정

교사는 굵은 선의 일부를 짚은 뒤 “이 선의 두께가 도형 안쪽 칸을 더 만든 것인지, 아니면 경계를 표시한 방법만 달라진 것인지”를 물을 수 있습니다. 아이가 바로 답하지 못하면 교사가 한쪽 모서리에 실을 놓고, 이어지는 변은 아이가 직접 따라가게 합니다. 그다음 아이는 모눈 종이의 내부 칸을 빠짐없이 세어 21개의 1cm² 칸으로 덮어 보고, 계산식 7×3=21과 연결합니다. 이때 선을 굵게 칠한 부분을 다시 세어 넓이에 더하지 않도록 하며, 아이가 가리키기·옮기기·그리기 중 한 방법으로 “경계는 길이, 안쪽 칸은 넓이”라는 관계를 보여 주는지 확인합니다.

재시도할 때에는 7cm×3cm 문제와 모눈 종이, 실, 가는 펜과 굵은 펜을 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 도형을 처음 조건대로 다시 놓은 뒤 아이가 경계를 따라 실을 대고, 내부 칸을 세어 21cm²를 구하게 합니다. 이미 완성된 모형을 보고 답만 말하는 것이 아니라, 자료를 처음 상태에서 직접 사용해 표시선의 굵기와 넓이 계산이 별개임을 확인하는 과정입니다.

조건이 달라진 새 문제와 다음 확인

이어서 가로 8cm, 세로 3cm인 직사각형을 같은 방식으로 제시할 수 있습니다. 이번에는 가로 길이가 7cm에서 8cm로 달라졌으므로 넓이는 8×3=24cm²입니다. 가는 펜과 굵은 펜 중 어느 것으로 표시해도 표시선의 굵기를 새 변 조건으로 넣지는 않지만, 직사각형의 실제 가로 길이가 달라졌기 때문에 넓이는 24cm²가 됩니다. 아이가 기본 문제의 21이라는 답을 그대로 고르는지, 새 모눈 칸을 덮고 8×3이라는 식을 세워 이유를 보여 주는지 확인합니다.

필요할 때는 가로 6cm·세로 2cm와 가로 5cm·세로 3cm인 직사각형도 비교할 수 있습니다. 두 도형의 둘레는 각각 2×(6+2)=16cm, 2×(5+3)=16cm로 같지만, 넓이는 각각 12cm²와 15cm²입니다. 다음 활동에서는 아이가 바뀐 수와 그대로인 조건을 구분하고, 테두리를 따라 잰 길이와 내부를 덮은 칸의 수를 자료와 식으로 다시 연결하는지 살펴봅니다.