석사동 고등수학과외

상반원만 읽었을 때 생기는 해 구간의 누락

삼각함수의 그래프와 구간 내 해를 다루다 보면, 0≤x≤2π에서 sin x≥0의 해를 구하는 문제에서 상반원만 보고 0≤x≤π라고 답하기 쉽다. 이 답과 실제 검산 결과를 나란히 놓으면 차이는 오른쪽 끝점을 확인했는지에서 드러난다. 먼저 “오른쪽 끝 x=2π에서 sin x는 얼마인가?”라고 묻는다. sin 2π=0이므로 부등식 sin x≥0을 만족한다. 따라서 상반원에서 양수인 구간만 기억한 것인지, 주어진 구간 전체에 그래프의 주기와 축척을 적용하지 못한 것인지 구분해 확인해야 한다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 학생이 한 주기 그래프에 부호와 끝점을 직접 표시하게 한다.

교점과 등호를 분리해 해를 다시 쓰기

각은 별도 표시가 없으면 라디안으로 읽고, 그래프에서 sin x의 값이 0 이상인 부분을 수평선 y=0과 비교한다. (0,π)에서는 사인값이 양수이고, x=0, π, 2π에서는 0이다. 그러므로 등호가 포함된 부등식에서는 양수 구간과 0이 되는 점을 따로 표시해야 한다. 교사가 바로 답을 제시하기보다 “(π,2π)에서는 부호가 어떻게 되는가?”, “끝점 2π는 주어진 범위에 들어가는가?”를 확인하게 한 뒤 다음 줄을 학생이 직접 잇게 한다. 학생은 [0,π]와 고립된 끝점 2π를 합쳐 [0,π]∪{2π}라고 쓸 수 있다. 실제로 (π,2π)에서는 sin x<0이지만 x=2π에서는 다시 0이므로 2π는 포함된다. 중간 값을 하나 대입하는 것은 부호를 확인하는 부분 검산이고, 전체 구간의 해를 정하는 근거는 그래프의 주기와 부호 변화이다.

표현이 바뀌어도 조건을 다시 대조하는 연습

풀이 방식은 유지하되 함수와 조건이 바뀌면 끝점을 새로 판단해야 한다. 예를 들어 0≤x<2π에서 cos x>0의 해를 구할 때는 오른쪽 반원을 제1·제4사분면으로 나누어 읽는다. x=0에서는 cos 0=1이므로 포함되고, x=π/2와 3π/2에서는 값이 0이므로 엄격한 부등식에 들어가지 않는다. 또한 2π는 함수값이 양수이더라도 정의역에서 제외되어 포함할 수 없다. 따라서 해는 [0,π/2)∪(3π/2,2π)이다. 이는 같은 그래프를 다른 말로 표현한 것이 아니라, 사인에서 코사인으로 함수가 바뀌고 오른쪽 끝 조건도 달라진 경우다. 다시 확인할 때는 문제와 조건만 남겨 두고 풀이와 정답을 가린다. 학생이 계산 결과와 성립 조건을 각각 적은 뒤, 단위원이나 한 주기 그래프에 두 번째 교점과 끝점을 표시하게 한다. 기본각만 적고 멈추지 않고 양·음 구간, 등호의 포함 여부, 정의역의 열린 끝을 차례로 대조하면 배움노트 고등수학 수업에서 배운 그래프 읽기가 다른 사인·코사인 부등식에도 이어진다.