일곡동 고등수학과외

가린 풀이 앞에서 조건부터 복원하기

집합의 연산을 공부하던 중 기본 문제의 풀이와 정답을 가린 채 다시 시작해 본다. 문제는 A={a,b,c}의 부분집합 중 a를 반드시 포함하는 것의 개수를 구하는 것이다. 먼저 “a를 넣을지 말지도 자유롭게 선택할 수 있는가?”라고 묻고, 학생이 문제의 조건을 직접 표시하게 한다. ‘부분집합’은 원소가 아니라 원소들을 모아 만든 집합이므로, 무엇을 선택하는지와 선택한 결과가 어떤 집합인지 구분해야 한다. ‘a를 반드시 포함’한다는 말은 a의 포함 여부가 자유롭지 않다는 뜻이다.

이렇게 답했다면 원소마다 포함하거나 포함하지 않는 두 선택을 세 자리에 적용한 것은 맞지만, a까지 자유롭게 선택한 셈이다. 따라서 2³=8은 전체 부분집합의 개수이지, a를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 아니다. 다만 이 한 번의 오답만으로 개념을 단정하지 않고, “a를 넣을지 말지도 자유롭게 선택할 수 있는가?”, “8개 중 a가 빠진 집합도 들어가는가?”라고 확인한다. 학생이 실제로 8개를 적어 보고 조건에 맞는 것과 맞지 않는 것을 표시하면, 원소와 부분집합을 혼동했는지 또는 ‘반드시’의 범위를 잘못 읽었는지 구별할 수 있다.

고정된 원소와 남은 선택을 나누어 세기

조건을 식으로만 외우지 않도록 A의 원소를 실제로 나열한다. a는 반드시 들어가므로 포함 여부를 고르는 자리가 이미 고정된다. 이제 b와 c만 각각 포함할지 제외할지 선택할 수 있다. 따라서 자유롭게 결정할 수 있는 자리는 두 개이고, 각 자리에는 두 가지 선택이 있으므로 2²=4가 된다. 교사는 설명한 뒤 후보를 학생이 직접 고르게 하고, 각 후보를 원래 조건과 대조하게 한다. 이때 계산 결과만 받아 적지 않고, a가 모든 후보에 들어 있는지 학생이 표시하도록 한다.

학생의 수정 풀이는 다음과 같이 정리된다. a만 포함한 {a}, a와 b를 포함한 {a,b}, a와 c를 포함한 {a,c}, 세 원소를 모두 포함한 {a,b,c}이다. 네 집합에는 공통으로 a가 들어 있고, b와 c의 포함 여부만 달라진다. 그러므로 정답은 4개다. 원래 8개의 부분집합을 모두 적어 보는 방법으로도 검산할 수 있다. 공집합, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} 중 a가 없는 공집합·{b}·{c}·{b,c}를 제외하면 네 집합이 남는다. 원의 방정식처럼 다른 단원의 식을 끌어와 설명하지 않고, 이번 문제의 조건과 정의에 맞는 근거만 사용한다.

조건이 바뀐 문제에서 근거를 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 A={a,b,c}의 부분집합 개수를 구한다. 이번에는 특정 원소를 반드시 포함하라는 조건이 없으므로 a, b, c 각각에 대해 포함·불포함 두 선택을 모두 할 수 있다. 세 자리에 두 선택을 놓아 2³=8개이고, 공집합과 A도 포함된다. 이는 앞의 문제에서 표현만 바꾼 것이 아니라 필수 조건이 사라진 실제 조건 변경이다. 따라서 학생은 먼저 “자유롭게 선택할 수 있는 원소가 세 개”라고 적은 뒤 계산해야 한다.

계산 뒤에는 원소 수별로 0개인 집합 1개, 1개인 집합 3개, 2개인 집합 3개, 3개인 집합 1개를 세어 1+3+3+1=8로 대조한다. 이어 문제 자료는 보이되 풀이와 정답을 가린 채, 특정 원소를 포함하는 경우에는 필수 원소의 선택을 고정하고 남은 원소만 세는 근거를 다시 쓰게 한다. 부분집합을 세지 못하면 원소마다 포함·제외 두 선택을 먼저 적고, 필수 원소가 있는지 표시한 다음 자유로운 자리만 계산한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답보다 조건 표시와 목록 대조가 유지되는지를 다음 풀이에서 확인한다.