단계지구 고등수학과외

“서로 다른 A, B, C, D 네 명이 일렬로 설 때 A와 B가 이웃하지 않는 배열 수를 구하라”는 문제를 먼저 제시한다. 이때 학생이 바로 24에서 무엇인가를 빼려 한다면, 어떤 배열을 제외하는지와 그 수를 어떻게 확인할지부터 묻는다. 이 문제의 핵심은 이웃하지 않는 경우를 직접 나열하는 데 있지 않고, 반대 조건인 ‘A와 B가 이웃하는 경우’를 정확히 세어 전체 배열에서 빼는 데 있다. 다만 이 결론을 바로 알려 주지 않고, 문제의 조건과 필요한 네 사람만 남긴 채 풀이와 답은 보이지 않은 상태에서 시작하게 한다.

달라진 조건을 먼저 표시하고 제외할 범위 정하기

학생에게 “이번 문제에서 기본 배열과 달라진 말은 무엇인가?”라고 묻는다. ‘이웃한다’가 ‘이웃하지 않는다’로 바뀌었으므로, 전체 배열 4!에서 이웃한 배열을 제외해야 한다고 말할 수 있어야 한다. 전체 배열은 4!=24가지다. 이제 이웃한 배열을 세기 위해 A와 B를 하나의 묶음으로 생각하면 묶음, C, D의 세 대상을 배열하는 방법은 3!이다. 그러나 묶음 안에서는 AB와 BA가 서로 다른 배열이므로 2!을 곱해야 한다. 따라서 이웃한 배열은 3!·2!=12가지이고, 이웃하지 않는 배열은 24−12=12가지다.

이렇게 답했다면 “24에서 3!만 뺀 것은 아닌가?”, “묶음 안의 순서를 실제로 구분했는가?”를 다시 확인한다. 작은 목록을 일부 만들어 AB가 앞에 오는 경우와 BA가 앞에 오는 경우가 모두 포함되는지 표시하게 하면, 묶음 내부 순서를 빠뜨린 것인지 전체 조건을 잘못 읽은 것인지 구분할 수 있다. 단순히 3!·2!=12를 외우게 하지 않고, 이 식에서 앞의 3!과 뒤의 2!이 각각 무엇을 세는지 학생 자신의 말로 설명하게 한다.

기준 문제에서 묶음의 의미와 순서를 대조하기

기준이 되는 문제는 “서로 다른 A, B, C, D 네 명이 일렬로 선다. A, B가 이웃하는 배열 수를 구하라”이다. A와 B를 묶으면 [AB], C, D 세 대상을 세우는 것이므로 3!이지만, [AB]를 하나의 고정된 물체로 취급하면 AB만 남고 BA를 잃게 된다. 이웃한 두 사람의 내부 순서를 구별하는 2!이 반드시 남아 있어야 한다. 학생이 먼저 3!=6을 적었다면 그 값이 묶음의 위치와 C, D의 순서만 센 결과임을 직접 대조하게 한다. 한 배열을 골라 AB를 BA로 바꾸었을 때도 서로 다른 결과가 되는지 확인하면, 선택 결과에 순서가 있다는 점을 분명히 할 수 있다.

학생이 수정한 풀이는 3!·2!=6·2=12이다. 이 값은 조건을 만족하는 배열을 세는 식이며, 네 명 전체를 아무 제한 없이 배열한 24와 비교해도 12가 절반이라는 점을 확인할 수 있다. 또 A와 B가 차지할 인접 위치쌍은 (1,2), (2,3), (3,4)의 세 곳이고, 각 위치쌍에서 AB와 BA 두 순서가 가능하며, 남은 C와 D도 2가지로 바뀐다. 따라서 3·2·2=12로 같은 결과를 얻는다. 이 두 계산이 일치하는지 확인하되, 한 번의 수치 대입만으로 일반 원리를 대신하지 않도록 각각 무엇을 세었는지 설명하게 한다.

가린 풀이로 조건을 바꾸어 독립적으로 다시 세기

배움노트 고등수학 수업에서는 같은 문제의 표현만 바꾼 것인지 실제 조건이 바뀐 것인지 먼저 구별하게 한다. 이번에는 A와 B가 이웃하지 않는다는 조건이므로, 이웃한 경우를 여사건으로 삼아 전체에서 빼야 한다. 학생에게 문제의 네 사람과 ‘이웃하지 않음’이라는 조건만 남겨 주고, 앞에서 구한 식과 정답은 가린 채 다시 풀게 한다. 학생은 전체 24에서 이웃한 3!·2!=12를 빼어 24−12=12를 만들 수 있어야 한다. 이어 A와 B가 차지할 수 있는 비인접 위치쌍이 세 개이고, 두 사람의 순서 2가지와 C, D의 순서 2가지를 곱해 3·2·2=12가 된다는 점도 대조한다. 마지막으로 “기준 문제는 이웃하는 배열을 직접 세었고, 이번에는 그 여사건을 전체에서 제외했다”라고 달라진 조건을 한 문장으로 쓰게 한다. 다음에는 경계 위치와 제외 조건을 먼저 표시하고, 계산식만으로 확신이 서지 않으면 일부 배열을 목록으로 만들어 중복되거나 빠진 경우가 없는지 확인하게 한다.