무실동 고등수학과외

최댓값과 최솟값을 구하는 답안에서 숫자는 적혀 있지만, 왜 그 값이 선택되었는지 근거가 비어 있는 경우가 있다. 예를 들어 f(x)=2ˣ, −1≤x≤2의 최댓값과 최솟값을 구하라는 문제에서 “최댓값 2, 최솟값 −1”이라고 답했다면, 정의역의 끝점 x를 함수의 출력값처럼 사용한 셈이다. 이 답 하나만으로 개념을 확정하지 않고, 먼저 “끝점 x를 함수에 넣은 출력은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생은 −1과 2를 x의 위치에 표시하고, 각각을 식에 대입한 결과를 직접 적어 보며 입력과 출력의 역할을 구분한다.

끝점의 숫자와 함숫값을 분리해 적기

교사는 모든 계산을 대신 제시하지 않고 첫 비교까지만 안내한다. 밑이 1보다 큰 지수함수는 x가 커질수록 함숫값도 커지고, 밑이 0과 1 사이이면 x가 커질수록 함숫값은 작아진다. 여기서는 밑 2가 1보다 크므로 f(x)=2ˣ는 증가한다. 따라서 −1≤x≤2에서 왼쪽 끝점의 출력과 오른쪽 끝점의 출력을 비교해야 한다. 또한 지수함수의 출력은 항상 양수이므로, 음수인 −1을 최솟값으로 쓰는 것은 식의 값과도 맞지 않는지 확인할 수 있다. 학생이 직접 f(−1)=2⁻¹=1/2, f(2)=2²=4를 계산하고 두 결과를 끝점의 순서와 함께 표시한다.

증가성으로 구간 전체를 검산하기

수정 풀이에서는 “밑 2>1이므로 증가함수이다. 정의역의 양 끝에서 f(−1)=1/2, f(2)=4이므로 최솟값은 1/2, 최댓값은 4이다”라고 연결한다. 끝점 두 개만 대입한 결과를 외우는 것이 아니라, 증가성 때문에 구간 안의 모든 x에 대한 함숫값이 두 끝 출력 사이에 놓인다는 점이 근거다. 예를 들어 x=0이면 f(0)=1이어서 1/2와 4 사이에 있고, 이는 전체 성질을 대신하는 증명이 아니라 계산 결과가 방향과 맞는지 확인하는 부분 검산으로 활용한다. 도함수나 특정 수치 하나만으로 결론을 만들지 않고, 밑의 위치와 정의역의 제한을 함께 확인한다.

표현을 바꿔도 밑과 끝점을 다시 확인하기

이제 대표 문제의 식 f(x)=2ˣ, 범위 −1≤x≤2, 필요한 계산 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. “끝점 x를 함수에 넣은 출력은 얼마인가?”라는 질문에 맞는 근거를 고른 뒤, 학생이 수정 풀이를 처음부터 다시 쓴다. 같은 방법을 실제 조건이 바뀐 문제에도 적용한다. f(x)=(1/2)ˣ, −1≤x≤2의 최댓값과 최솟값을 구하면 밑이 0과 1 사이이므로 감소함수다. 따라서 f(−1)=2가 최댓값이고 f(2)=1/4이 최솟값이다. 왼쪽에서 오른쪽으로 값이 2, 1, 1/2, 1/4로 줄어드는 것은 감소성에 맞는 부분 검산이다. 다음 점검에서는 최대·최소를 바로 외워 쓰는지보다 식의 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지, 정의역의 양 끝 출력이 무엇인지, 그 순서가 성질에 맞는지를 표시하는지 확인한다.