단구동 고등수학과외

미적분Ⅱ에서 여러 가지 적분법과 정적분을 연결하다 보면 같은 식을 보고도 정의역에 따라 전혀 다른 확인이 필요하다. 예를 들어 “x<0에서 ∫1/x dx를 구하라”는 문제에 이렇게 답했다고 하자. 학생의 풀이에는 ln x+C가 적혀 있고, 옆의 검산에는 음수 입력에서 ln x가 실수로 정의되지 않는다는 결과가 놓여 있다. 두 결과가 다른 이유는 계산 속도의 문제가 아니라 주어진 조건과 로그의 정의역을 식에 반영했는지의 문제다.

음수 입력에서 로그식의 정의역부터 묻기

풀이를 곧바로 고쳐 쓰기 전에 “음수 입력에서 ln x는 실수로 정의되는가?”라고 묻는다. 학생은 x<0이라는 조건을 다시 표시하고, ln x에 음수를 넣었을 때 실수 범위에서 의미가 있는지 직접 확인해야 한다. 이때 오답 하나만으로 치환적분을 몰랐다고 단정하지 않는다. 치환의 미분 인자를 빠뜨렸는지, 적분 구간을 함께 바꾸지 않았는지, 원시함수와 정적분을 혼동했는지를 차례로 확인한다. 문제의 식과 조건에 밑줄을 긋고, 자신이 쓴 로그의 진수와 정의역을 대조하게 하면 원인을 구분하기 쉽다.

조건을 반영해 원시함수를 다시 세우기

치환적분에서는 새 변수만 바꾸는 것이 아니라 미분 인자와 구간도 함께 바꾼다. 부분적분은 곱의 미분을 거꾸로 사용하는 방법이므로 이번 식에 억지로 적용할 필요가 없다. x<0에서는 ln(−x)가 정의되고, 체인룰에 따라 (ln(−x))′=(−1)/(−x)=1/x이다. 따라서 학생이 다음 줄을 직접 이어 쓰면 ln(−x)+C가 된다. 더 넓게는 x≠0에서 ln|x|+C로 쓸 수 있지만, 현재 조건을 분명히 드러내는 답은 ln(−x)+C, x<0, C∈R이다. “예시 오답에서 무엇을 바꾸었는가”를 ln x에서 ln(−x)로 식 자체에 표시하게 하면 말로만 이해했는지 구별할 수 있다.

정적분에서는 구간과 부호를 함께 검산하기

원시함수와 정적분을 구별하기 위해 양수 구간도 이어서 살핀다. ∫₁ᵉ 1/x dx에서는 구간 전체가 양수이므로 [ln x]₁ᵉ를 계산한다. 두 끝점에서 같은 적분상수는 서로 소거되고, 결과는 ln e−ln 1=1−0=1이다. 분모가 0이 되지 않으며 적분함수가 구간에서 양수이므로 결과가 양수라는 점도 대조한다. 앞의 음수 구간과 표현만 바꾼 문제인지, 실제로 조건이 바뀐 문제인지도 말하게 한다.

다음에는 문제와 조건, 필요한 식만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 먼저 해결하게 한다. 기본 문제의 답을 기억한 것인지 확인하려면 음수 구간의 부정적분과 양수 구간의 정적분을 섞어 제시한다. 결과가 의심될 때는 원시함수를 다시 미분하고, 정적분은 양 끝값과 구간의 부호를 추가로 확인한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업의 풀이에서는 답을 외우는 데서 멈추지 않고, 정의역과 조건이 식의 모양과 검산 결과를 어떻게 바꾸는지 스스로 설명하도록 연결한다.