반곡동 고등수학과외

성분 비교의 기준을 말로는 설명하면서도 식에 적용할 때 다른 방식으로 계산하는 경우가 있다. 예를 들어 행렬의 덧셈에서 각 행의 합만 맞추면 된다고 생각하면, 주어진 식의 구조와 맞지 않는 답을 만들 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이런 답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 처음 적은 식과 계산 과정을 다시 대조하며 어느 기준을 사용했는지 확인한다.

행의 합이 아니라 같은 위치의 성분을 확인하기

다음과 같은 식을 생각해 보자. [[a,2],[3,b]]+[[1,c],[0,4]]=[[5,7],[3,10]]이다. 이때 실수 a, b, c를 구해야 한다. 이렇게 답했다면, 행의 합을 맞추어 a=3, b=6, c=6이라고 판단했을 수 있다. 먼저 이 값을 원래 식에 실제로 대입해 본다. 왼쪽 위 성분은 3+1=4이므로 오른쪽의 5와 다르고, 오른쪽 위 성분도 2+6=8이어서 7과 맞지 않는다.

이 확인만으로 원인을 하나로 확정하지는 않는다. “행렬이 같으려면 행의 합만 같아도 충분한가?”라고 묻고, 행렬이 같다는 말을 행의 합이 같다는 뜻으로 읽었는지 살핀다. 또는 성분별 등식은 알고 있었지만, 미지수가 놓인 위치를 잘못 대응했을 가능성도 확인한다. 학생이 자신의 답과 처음 쓴 식을 직접 표시하고, 어느 위치에서 값이 어긋났는지 찾게 한다.

대응 성분으로 식을 세우고 직접 풀기

두 행렬이 같으려면 행과 열의 같은 위치에 있는 모든 성분이 각각 같아야 한다. 따라서 왼쪽 위에서는 a+1=5, 오른쪽 위에서는 2+c=7, 오른쪽 아래에서는 b+4=10을 세운다. 왼쪽 아래는 3+0=3으로 이미 조건과 일치한다. 기준을 확인한 뒤에는 교사가 계산을 대신하지 않고, 학생이 각 등식을 직접 풀어 a=4, c=5, b=6을 얻도록 한다.

정답은 a=4, b=6, c=5이다. 검산할 때는 세 값을 원래 행렬에 대입해 네 위치를 모두 비교한다. 왼쪽 위는 4+1=5, 오른쪽 위는 2+5=7, 왼쪽 아래는 3+0=3, 오른쪽 아래는 6+4=10이다. 네 성분이 각각 오른쪽 행렬의 성분과 일치하므로 이 식을 만족한다. 특정 수를 넣어 한 위치가 맞는지 확인하는 것은 부분 검산이고, 행렬이 같다는 판단의 근거는 같은 위치의 모든 성분이 각각 같다는 일반적인 조건이다.

자료가 바뀌어도 같은 기준으로 계산하기

다음에는 풀이와 정답을 가린 채 문제 자료만 남겨 두고 시작한다. 행렬 S=[[2,3],[4,1]]이 행 순서대로 가게 A, B의 판매 개수이고, 열 순서가 연필, 공책이라고 하자. 가격 열벡터 p=[[500],[1000]]원일 때 Sp와 그 의미를 구한다. 먼저 각 행과 열이 무엇을 나타내는지 표시한 뒤, 가게 A의 값은 2·500+3·1000, 가게 B의 값은 4·500+1·1000으로 계산한다.

따라서 Sp=[[4000],[3000]]원이다. 이는 가게 A의 판매 금액이 4000원, 가게 B의 판매 금액이 3000원이라는 뜻이다. 연필과 공책의 금액을 가게별로 따로 더해도 같은 결과가 나오는지 대조하면 계산을 확인할 수 있다. 표현이 행렬의 등식에서 판매 자료 계산으로 바뀌었지만, 각 성분의 위치와 의미를 먼저 확인한다는 기준은 유지된다.

마지막에는 성분 비교로 미지수를 찾는 근거를 학생이 다시 적게 한다. 이후 자료는 보이되 풀이와 정답은 가린 상태에서, 같은 기준을 새로운 수치에 맞게 조정해 쓰는지 살핀다. 행렬의 덧셈과 같음을 혼동하면 처음부터 전부 계산하지 않고 같은 위치의 성분 한 쌍만 대응한 뒤, 나머지 위치로 범위를 넓힌다. 이렇게 답과 식을 직접 대조하는 과정이 다음 문제에서도 기준을 이어 가는지 확인한다.