반곡지구 고등수학과외

확률의 합으로 미지수를 찾는 문제는 식 하나를 세우는 데서 끝나지 않는다. 같은 방식으로 계산해도 주어진 확률의 범위가 달라지면 결론이 달라질 수 있다. 기본 문제에서는 확률변수 X의 값 0, 1, 2에 대응하는 확률이 각각 1/4, a, 1/2일 때 실수 a를 구한다. 반면 조건을 바꾼 문제에서는 0.4, a, 0.8이 주어져 가능한 a가 있는지 먼저 판단해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 두 문제를 나란히 놓고 계산 결과와 분포의 성립 조건을 함께 확인한다.

값의 합과 확률의 합을 구분해 오답을 바라보기

이렇게 답했다면 어떨까. 학생이 X의 값 0, 1, 2를 더해 3을 만들고, 이를 나누어 a=1/3이라고 적었다고 하자. 이 결과만으로 개념을 하나로 단정하지 않는다. 먼저 “합이 1이어야 하는 것은 값인가, 확률인가?”라고 묻고, 학생이 문제에서 각각의 값과 그 값이 나올 확률을 어떻게 표시했는지 직접 짚어 보게 한다. 확률분포에서는 가능한 확률을 모두 더한 값이 1이어야 하며, 각 확률은 0 이상이어야 한다. 값 0, 1, 2의 합을 계산하는 것과 확률 1/4, a, 1/2의 합을 계산하는 것은 서로 다른 행동이다.

합 조건을 세운 뒤 범위까지 확인하는 수정 풀이

조건을 표시한 자료를 다시 보면서 학생이 직접 식을 세우면 1/4+a+1/2=1이 된다. 따라서 a=1/4이다. 교사는 식을 대신 완성하기보다, 어떤 항들이 확률인지 표시했는지, 구한 a가 확률로 허용되는지 중간 결과를 함께 확인한다. 학생은 “세 확률의 합이 1이어야 하므로 a=1/4이고, 1/4, 1/4, 1/2는 모두 0 이상이며 합도 1이다”라고 문장으로 정리한다. 여기서 합 조건은 분포 전체에 적용되는 일반적인 성질이고, 비음수 조건은 구한 값이 실제 확률로 가능한지 확인하는 기준이다.

조건을 바꾼 문제에서 가능한 분포인지 대조하기

이제 문제와 조건만 남긴 채 풀이와 정답을 가리고 다시 시작한다. X의 값 0, 1, 2의 확률이 각각 0.4, a, 0.8일 때 가능한 실수 a가 있는지 판단한다. 학생이 먼저 합 조건을 적용하면 0.4+a+0.8=1에서 a=-0.2가 나온다. 그러나 확률은 0 이상이어야 하므로 이 값은 허용되지 않는다. 더 빠른 부분 검산으로도 이미 0.4+0.8=1.2>1이므로, 나머지 확률을 비음수로 두어 전체 합을 1로 만들 수 없음을 확인할 수 있다. 따라서 유효한 분포를 만드는 a는 없다. 이후 같은 문제의 숫자 표현만 바꾼 것인지, 실제로 허용 범위를 바꾼 것인지 구별하며, 식·범위·자료만 보고 수정 풀이를 다시 쓰는지 살핀다. 확률의 합만 맞추지 말고 각 확률이 0 이상인지와 전체 합이 1인지 두 기준을 함께 대조해야 다음 문제에서도 결론을 안정적으로 판단할 수 있다.