학성동 고등수학과외

성공확률이 1/2인 독립시행을 네 번 한다고 하자. 네 번 모두 실패할 확률은 0이 아니다. 실제 결과를 모두 나열하면 성공과 실패의 조합은 16가지이고, 그중 모두 실패하는 경우도 하나 포함된다. 따라서 성공 0회의 확률은 양수가 되어야 한다. 반면 평균 성공 횟수는 4×1/2=2이므로, 이를 근거로 성공 0회의 확률을 0이라고 하면 평균과 특정 사건의 확률을 혼동한 것이다.

평균 성공 횟수와 성공 0회를 구별하기

문제의 조건은 성공확률 1/2, 독립시행 4회이다. 이항분포는 같은 성공확률을 가진 독립시행을 정해진 횟수만큼 반복했을 때 성공 횟수를 나타낸다. 이렇게 답했다면 먼저 “평균이 2라는 말이 매번 두 번 성공한다는 뜻인가?”라고 확인한다. 평균은 여러 번 같은 실험을 반복했을 때의 장기적인 중심값이지, 한 번의 시행에서 반드시 나타나는 성공 횟수가 아니다.

또한 횟수 4와 성공확률 1/2를 빠뜨렸는지, 독립이라는 조건을 사용했는지도 차례로 표시하게 한다. 학생은 네 번의 결과에서 성공 0회가 어떤 결과인지 직접 적고, 각 시행이 실패할 확률을 곱해야 하는지 말해 본다. 이 과정을 통해 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 기대값과 특정 확률을 실제로 구별하는지 확인할 수 있다.

네 번 모두 실패하는 결과를 식으로 나타내기

성공이 한 번도 없다는 것은 네 시행이 모두 실패한다는 뜻이다. 실패확률도 1/2이므로, 해당 결과 하나의 확률은 (1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)=(1/2)⁴이다. 따라서 값은 1/16이다. 이때 성공한 위치를 고를 필요는 없다. 성공이 0회인 경우에는 네 자리가 모두 실패로 정해져 있기 때문이다.

이항식으로도 같은 결과를 확인한다. 성공 횟수를 k라 하면 k=0을 대입하여 4C0·(1/2)⁰·(1/2)⁴=1/16이 된다. 4C0=1이고, 성공확률의 0제곱은 1이므로 모두 실패할 네 번의 확률만 남는다. 학생은 계산 결과와 이 식이 문제의 조건에 맞는지 따로 적어, 식을 대입한 사실과 그 식이 뜻하는 사건을 구분한다.

조건을 남긴 채 다른 성공 횟수에 재적용하기

수정 전후 풀이를 섞어 제시한 뒤, 학생이 성공 0회의 확률에 맞는 순서를 직접 복원하게 한다. 먼저 ‘성공 없음’을 ‘네 번 모두 실패’로 바꾸고, 다음으로 실패확률을 네 번 곱한 뒤, 마지막에 이항식의 k=0 대입으로 대조한다. 배움노트 고등수학 수업에서 중요한 점은 정답만 고르는 것이 아니라 각 단계가 어떤 조건에서 나왔는지 표시하는 것이다.

이제 문제를 바꾸어 성공확률 1/2인 독립시행을 네 번 할 때 성공이 정확히 2번일 확률을 구한다. 이번에는 성공한 위치를 고르는 방법이 필요하므로 4C2=6가지이고, 각 결과의 확률은 (1/2)⁴이다. 따라서 6·(1/2)⁴=6/16=3/8이다. 16개의 등확률 결과 중 성공 두 번인 결과가 6개라는 방식으로도 확인한다. 문제의 표현만 바뀐 것인지, 성공 횟수라는 실제 조건이 바뀐 것인지 먼저 표시하고, 독립성과 시행 횟수가 유지될 때만 같은 이항식 구조를 적용하게 한다.