도마동 고등수학과외

확률과 통계에서 같은 문제를 두고 답이 1개와 10개로 갈렸다면, 계산 속도보다 조건을 어떻게 읽었는지부터 확인해야 합니다. 배움노트 고등수학 수업에서 다음과 같은 문제를 만났다고 해 보겠습니다. 비음수 정수 x, y, z가 x+y+z=3을 만족할 때 해의 개수를 구하는 문제입니다. 한 풀이에서는 x, y, z를 모두 양수로 해석하여 (1,1,1) 하나만 세었습니다. 반면 검산에서는 10개라는 결과가 나왔다면, 두 결과 중 하나를 바로 고르기보다 “0도 비음수 정수인가?”라고 먼저 답하게 해야 합니다.

양수 해석과 비음수 조건을 나란히 비교하기

비음수 정수는 0을 포함하는 정수입니다. 따라서 x, y, z가 모두 1 이상이어야 한다는 조건은 문제에 따로 제시되지 않았습니다. (1,1,1)만 세는 풀이는 양수 정수의 경우를 계산한 것이므로, 주어진 조건보다 범위를 좁힌 셈입니다. 학생에게는 “0을 허용했을 때 각 변수에 어떤 값이 들어갈 수 있는가?”, “개수를 고를 때 x, y, z의 자리를 구별해야 하는가?”를 차례로 묻습니다. 이 문제에서는 세 변수의 자리가 구별되므로 (0,1,2)와 (1,0,2)는 서로 다른 해입니다.

중복조합에서는 같은 종류를 여러 개 고른 결과를 종류별 개수로 나타냅니다. 3을 x, y, z 세 종류에 나누어 배정하되 한 종류에 0개를 배정해도 되므로, 중복조합으로 3H3을 계산합니다. 이는 5C2와 같아 10입니다. 이항계수는 이항 전개에서 어느 자리에서 한 항을 고를지 세는 수이고, 중복조합의 별과 막대 해석에서는 구분선과 개수 배정의 관계를 세는 수입니다. 여기서 교사가 풀이를 대신 끝내지 않고, 학생이 ‘0을 허용한다’는 조건을 반영한 다음 줄을 직접 이어 쓰게 합니다.

학생의 수정 풀이와 두 가지 검산

학생은 조건을 다시 읽은 뒤 “x, y, z는 비음수 정수이므로 0을 포함하고, x+y+z=3을 세 변수에 나누어 배정한다”고 적습니다. 이어서 3H3=5C2=10이라고 풀이합니다. 결과만 쓰지 않고 성립 조건도 함께 적어야 합니다. 식의 값이 10이라는 사실은 비음수 정수해를 센 경우에만 적용되며, 양수 조건이었다면 각 변수에서 1씩 먼저 빼어 합이 0인 경우 하나만 남습니다.

부분 검산으로는 x의 값을 고정합니다. x=0이면 y+z=3의 해가 4개, x=1이면 3개, x=2이면 2개, x=3이면 1개입니다. 따라서 4+3+2+1=10개입니다. 이 나열은 전체 해를 빠뜨리지 않았는지 확인하는 방법이며, (0,3,0)처럼 0이 포함된 해도 실제 조건을 만족한다는 점을 보여 줍니다. 단순히 도함수나 특정 계산 결과처럼 한 가지 단서만으로 결론을 내리는 것이 아니라, 문제의 정의와 전체 경우를 대조해야 합니다.

조건을 가린 상태에서 다시 적용하기

다음에는 대표 문제의 풀이와 정답·검산 문장을 가린 채, 문제와 조건만 남겨 독립적으로 시작합니다. 학생은 계산 결과 10개와 그 결과가 성립하는 조건인 ‘비음수 정수, 세 변수, 합이 3’을 각각 적어야 합니다. 이어 “비음수 정수 x, y, z가 x+y+z=3, x≤1을 만족하는 해의 개수”를 풀어 봅니다. x=0이면 4개, x=1이면 3개이므로 모두 7개입니다. 이는 전체 10개에서 x≥2인 3개를 뺀 결과와도 일치합니다.

표현만 바꾼 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구별하는 것이 핵심입니다. 새 문제에서는 먼저 x의 가능한 값 0, 1을 적고, 각 경우에 남는 개수를 계산한 뒤 합을 냅니다. 중복조합 조건을 놓치면 종류별 개수의 합, 각 개수의 최소·최대 범위를 먼저 표시하고 남은 개수를 세도록 합니다. 다음 점검에서는 정답을 외웠는지가 아니라, 조건을 표시하고 풀이와 검산을 가린 상태에서도 같은 과정을 다시 세울 수 있는지를 확인합니다.