내동 고등수학과외

진수 조건에서 오답의 흔적 찾기

“실수 x에 대해 log₂(x²−1)=3을 풀어라.” 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 먼저 계산보다 문제의 조건을 다시 읽는다. 로그의 진수는 양수여야 하므로 x²−1>0이라는 조건을 적어 둔다. 밑 2는 1이 아닌 양수이므로 식을 지수형으로 바꾸면 x²−1=2³=8, 따라서 x²=9가 된다. 여기서 x=3만 쓰였다면, 계산 자체보다 제곱식에서 생길 수 있는 두 해 중 하나가 사라진 장면으로 볼 수 있다. 다만 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지는 않는다.

“x−1도 따로 양수여야 하나요?”, “처음 적은 진수 조건은 무엇이었나요?”, “구한 후보를 원래 식에 각각 넣어 보았나요?”라고 묻는다. 학생이 로그의 합을 하나로 바꾸는 과정과 혼동했는지, 아니면 x²−1>0을 적고도 후보에 적용하지 못했는지 구분하기 위해서다. 특히 x−1과 x+1이 각각 진수로 주어진 식과 x²−1 하나가 진수인 식은 정의역을 같은 방식으로 읽을 수 없다. 지금 식에서 필요한 조건은 x²−1>0 하나이며, x=−3과 x=3은 모두 이 조건을 만족한다.

조건을 남긴 채 풀이를 다시 완성하기

교사는 답을 바로 말하기보다 식의 의미를 비교하게 한다. 로그의 합을 하나의 로그로 합칠 때는 각 진수가 양수라는 조건을 따로 남겨야 하지만, 현재 식은 처음부터 진수가 x²−1로 주어져 있다. 그러므로 학생은 x²−1>0을 표시한 뒤 log₂(x²−1)=3에서 x²−1=8, x²=9, x=±3의 순서를 직접 복원한다. 이어 두 후보를 원래 진수에 대입해 (−3)²−1=8, 3²−1=8임을 계산한다. 두 경우 모두 진수는 8이고 log₂8=3이므로 정답은 x=−3, 3이다. 수치 대입은 두 후보가 실제 조건을 만족하는지 확인하는 검산으로 사용하며, 제곱식에서 두 해가 나오는 이유는 x²=9라는 식의 성질에서 설명한다.

중간 단계가 섞여 있다면 학생은 ‘진수의 양수 조건’, ‘지수형으로 변환’, ‘제곱식의 두 후보’, ‘원래 식에 대입’이라는 표시를 단서로 순서를 고른다. 이렇게 답을 고치는 과정에서 중요한 것은 x=−3을 억지로 추가하는 일이 아니라, 어떤 조건이 처음부터 있었고 그 조건이 후보를 어떻게 판단하게 하는지 말하는 것이다. 풀이 옆에 각 후보가 진수를 만드는지 직접 표시하게 하면 계산과 조건 확인이 분리되지 않는다.

표현이 바뀐 식에서 정의역 다시 비교하기

이제 문제의 형태를 바꾼다. log₂(x−1)+log₂(x+1)=3을 풀 때는 먼저 x−1>0, x+1>0을 각각 적어야 한다. 두 조건을 함께 만족하는 범위는 x>1이다. 그다음 로그를 합쳐 log₂((x−1)(x+1))=log₂(x²−1)=3으로 만들면 x²=9가 나오지만, 후보 x=−3과 x=3 중 원래 조건 x>1을 만족하는 것은 x=3뿐이다. 실제 확인도 log₂2+log₂4=1+2=3으로 할 수 있다. 반면 −3은 x−1과 x+1이 모두 음수여서 합치기 전 원식에 넣을 수 없다.

두 식은 비슷해 보여도 조건이 다르다. 첫 식은 x²−1>0만 확인해 두 해를 얻고, 둘째 식은 합치기 전 두 로그의 진수 조건을 함께 확인해 한 해만 남긴다. 재적용할 때는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 뒤 시작한다. 학생은 합친 로그만 보고 판단하지 않고 각 진수의 부호를 다시 적은 다음, 표현만 달라진 경우와 실제 정의역 조건이 달라진 경우를 구별한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음 문제에서도 같은 순서를 설명할 수 있는지, 각 후보를 왜 남기거나 제외했는지까지 확인한다.