만년동 고등수학과외

중간값을 넣어도 좌우 극한이 다르면 연속이 아니다

연속과 사잇값 정리를 공부할 때는 한 점의 값을 정하는 문제와 구간 전체에서 값이 이어지는 문제를 구별해야 한다. 먼저 다음과 같은 경계 상황을 보자. f(x)=0(x<0), f(0)=a, f(x)=1(x>0)일 때 x=0에서 연속이 되게 하는 실수 a가 있는지 묻는 문제다. 좌측에서 x가 0에 가까워질 때의 극한은 0이고, 우측 극한은 1이다. 따라서 좌우 극한이 서로 달라 x=0에서의 양쪽 극한 자체가 존재하지 않는다. 이때 a는 아직 정하지 않은 한 점의 함숫값일 뿐이므로, 어떤 값을 넣어도 좌우에서 다가오는 높이 차이를 없앨 수 없다.

이렇게 답했다면 오답의 핵심은 a=1/2를 중간값으로 선택한 데 있다. 1/2는 두 값 사이에 놓인 수라는 점에서는 의미가 있지만, 연속의 조건을 만족시키는 값은 아니다. 한 점에서 연속이 되려면 먼저 함숫값이 존재해야 하고, 그 함숫값이 극한과 같아야 한다. 그런데 이 문제는 좌극한과 우극한이 같지 않으므로 비교할 하나의 극한이 없다. 교사는 “좌우 극한이 각각 얼마인가?”, “두 값이 같은가?”, “a를 바꾸면 좌우 상수 구간의 값도 바뀌는가?”라고 확인하고, 학생이 직접 좌극한 0과 우극한 1을 식 옆에 표시해 성립 여부를 적게 한다. 구간에 대한 사잇값 정리를 적용하려면 해당 구간에서 함수가 연속이라는 가정도 필요하므로, 끝값만 보고 정리를 사용할 수 없다.

함숫값을 맞춰 구멍을 메울 수 있는 경우와 비교하기

이제 한 점의 값을 정해 연속으로 고칠 수 있는 경우를 비교한다. f(x)=(x²−4)/(x−2) (x≠2), f(2)=a일 때 x=2에서 연속이 되게 하는 a를 구하는 문제다. x≠2라는 정의역 조건을 먼저 남기고, 분자를 인수분해하면 x²−4=(x−2)(x+2)이므로 해당 조건에서 f(x)=x+2이다. 따라서 x가 2로 가까워질 때의 극한은 4이고, 연속 조건에 따라 f(2)=a도 4여야 한다. 그러므로 a=4이다. 이 경우 그래프에서 빠진 점은 (2,4)이며 그 점을 채우면 직선 y=x+2와 일치한다. 앞의 문제처럼 좌우 값이 다른 끊김은 한 점의 높이를 조절해 고칠 수 없지만, 이번 문제는 좌우에서 같은 값 4로 다가가므로 함숫값을 맞춰 메울 수 있다.

풀이를 가린 상태에서 다시 적용하고 금지 입력을 점검하기

다음 점검에서는 풀이와 정답을 가리고 문제, 정의역 조건, 검산 방법만 남긴다. 먼저 한 점에서 연속이 되기 위한 조건을 “함숫값이 존재하고 극한과 같음”으로 적은 뒤, 좌우에서 다가가는 값이 같은지 계산한다. 값이 같다면 그 공통값을 한 점의 함숫값과 대조하고, 다르면 어떤 a도 가능한지 다시 판단한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 이 순서를 유지하면 중간값이나 끝값만 보고 결론을 내리는 실수를 줄일 수 있다. 특히 약분할 때는 x=2가 원래 식에서 금지된 입력이라는 사실을 지우지 말고, 약분한 식은 x≠2에서만 성립한다고 표시해야 한다. 마지막에는 계산으로 얻은 극한, 정한 함숫값, 연속 성립 여부를 나란히 검산한다. 다음 문제에서도 표현만 바뀐 것인지 실제 조건이 달라진 것인지 먼저 확인하고, 구간 내부의 끊김과 정의되지 않는 입력을 빠뜨리지 않도록 한다.