관저동 고등수학과외

“첫 1항, 2항, 3항, 4항의 부분합은 각각?”이라는 질문에서 계산이 멈췄다고 해 보자. 미적분Ⅱ의 급수와 등비급수에서는 항을 묶어 간단히 보이는 것과 급수가 수렴하는지를 판정하는 일이 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 바로 고치기보다 학생이 어떤 대상을 계산하고 있는지부터 확인한다. 급수의 합은 항들을 임의로 묶은 결과가 아니라, 앞에서부터 더한 부분합의 극한으로 정의되기 때문이다.

양쪽을 묶어 0이라고 한 풀이를 다시 읽기

문제는 1−1+1−1+…의 부분합을 이용해 수렴 여부를 판단하는 것이다. 이렇게 답했다면 “1−1을 묶어 0으로 보았나?”라고 확인할 수 있다. 그러나 괄호를 어디에서 끊느냐에 따라 다른 값을 택하는 방식은 원래 급수의 수렴 판정이 아니다. 먼저 첫 네 부분합을 직접 써 보자. S₁=1, S₂=0, S₃=1, S₄=0이다. 이어서 S₅=1, S₆=0이 되어 부분합이 하나의 값으로 가까워지지 않고 두 값 사이에서 반복된다. 따라서 급수의 합을 부분합 Sₙ의 극한으로 판단하면 이 급수는 수렴하지 않는다.

등비급수 공식보다 먼저 확인할 조건

이 식은 첫째 항이 1이고 공비가 −1인 등비급수처럼 보인다. 등비급수의 합을 a/(1−r)로 계산하려면 첫 항이 0이 아니고 |r|<1이어야 한다. 여기서는 |r|=1이므로 그 조건이 성립하지 않는다. 특히 일반항의 극한과 부분합의 극한을 혼동하지 않도록 구분해야 한다. 항 1, −1, 1, −1, … 자체는 0으로 가지 않으며, 부분합도 1과 0을 번갈아 취한다. 어느 한 값으로 수렴하지 않는다는 일반적인 근거가 정답이며, 특정 몇 항의 계산은 그 현상을 확인하는 부분 검산으로 사용한다.

학생이 직접 수정하고 다른 급수에 다시 적용하기

설명을 들은 뒤에는 “부분합이 1과 0 사이에서 진동하므로 통상적인 급수로는 발산한다”라고 학생이 자신의 말로 다시 적게 한다. 이때 ‘통상적인’이라는 표현만 남기지 말고, ‘급수의 합은 부분합의 극한이고, 부분합의 극한이 존재하지 않으므로 발산한다’고 근거를 완성해야 한다. 다음에는 문제와 조건만 남긴 채 풀이와 정답을 가리고 Σ(n=1부터 ∞까지)2^(n−1)을 살펴본다. 식의 모양을 바꾼 것이 아니라 공비가 −1에서 2로 실제로 달라진 경우다. 공비 r=2이므로 |r|=2>1이고, 등비급수의 수렴 조건이 깨진다. 부분합은 Sₙ=1+2+⋯+2^(n−1)=2ⁿ−1이 되어 계속 커지므로 유한한 합이 없다. 항 역시 0으로 가지 않는다.

마지막에는 두 경우의 판정 근거를 나란히 대조한다. 첫 급수는 부분합이 1과 0으로 번갈아 바뀌어 발산하고, 두 번째 급수는 부분합이 제한 없이 커져 발산한다. 다음 점검에서도 공식값을 먼저 쓰지 않고 일반항, 부분합의 일반식, 공비의 절댓값과 성립 조건을 차례로 표시하는지 확인한다. 이렇게 해야 표현만 달라진 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구별하며 같은 개념을 정확히 재적용할 수 있다.