둔산동 고등수학과외

합성함수 문제를 풀 때 조건을 표시하지 않고 식만 빠르게 이어 쓰면, 어느 함수가 먼저 적용되는지 놓치기 쉽습니다. 예를 들어 f(x)=2x+1, g(x)=x²이고 두 함수의 정의역이 모두 실수일 때 f(g(2))를 구한다고 하겠습니다. 이렇게 답했다면 g(f(2))=25라고 쓴 풀이가 나올 수 있습니다. 계산 자체는 f(2)=5, g(5)=25로 맞지만, 주어진 합성의 순서와는 다릅니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 결과만 고치는 대신 입력 2가 처음 들어가는 함수와 그 출력이 다음에 어디로 가는지를 먼저 확인합니다.

입력 2가 처음 들어가는 함수를 표시하기

짧은 확인 질문은 “입력 2가 처음 들어가는 함수는 어느 것인가?”입니다. f(g(2))에서는 괄호 안쪽의 g가 먼저이므로 2를 g에 넣어야 합니다. g의 정의역은 실수 전체이므로 2를 넣을 수 있고, g(2)=2²=4입니다. 여기서 계산을 멈추지 않고, 중간 결과 4를 다음 입력으로 남겨 두어야 합니다. 반대로 g(f(2))라면 먼저 f(2)=5를 구한 뒤 g(5)=25가 됩니다. 두 식은 같은 함수 기호를 사용하지만 합성 순서가 다르므로 서로 다른 값을 냅니다.

중간 결과를 남긴 수정 풀이

학생이 직접 이어서 f(4)=2·4+1=9라고 쓰면, 원래 식의 흐름은 2→4→9로 정리됩니다. 따라서 f(g(2))=9입니다. 이를 합성된 식으로도 확인할 수 있습니다. f(g(x))=f(x²)=2x²+1이므로 x=2를 대입하면 2·2²+1=9입니다. 이 대조는 특정 입력에서의 부분 검산이며, 모든 실수 x에서 f(g(x))의 식이 2x²+1이라는 사실은 함수의 정의에 따라 성립합니다. 학생은 마지막에 “안쪽 함수 g를 먼저 적용하고, 그 출력 4를 바깥 함수 f에 넣었으므로 9이다”라고 자신의 문장으로 결론을 적습니다. 역함수가 함께 등장하는 경우에는 원래 입력과 출력을 뒤집는 정의를 따로 확인해야 하며, 합성 순서와 혼동하지 않도록 정의역·치역도 표시해야 합니다.

순서를 바꾼 식에 독립적으로 다시 적용하기

풀이와 정답을 가린 뒤에는 문제와 조건만 남겨 두고 다음 식을 시작합니다. f(x)=2x+1, g(x)=x², 정의역은 실수 전체일 때 g(f(x))를 구합니다. 이번에는 바뀐 순서를 먼저 표시하고, t 자리에 f(x)=2x+1을 넣어 g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)²=4x²+4x+1을 얻습니다. x=1이면 실제 이동은 1→3→9이므로 식의 값도 9입니다. g(f(x))를 3이라고 쓰는 오답은 이 계산으로 반박됩니다. 마지막 줄을 비워 두고 학생이 식과 이유를 직접 채우게 한 뒤, 기호만 바뀐 문제에서는 특정 입력의 이동을 두 단계로 적고, 조건이 실제로 바뀐 문제에서는 바뀐 정의역이나 부호를 먼저 표시하는지 이어서 확인합니다.