가수원동 고등수학과외

평면도형의 넓이가 6cm²이고 도형이 놓인 평면과 사영 평면 사이의 예각이 60°라면, 정사영 넓이는 3cm²이다. 그런데 각도 조건을 보고 길이와 같은 방식으로 계산하면 결론이 달라진다. 이렇게 답했다면 “두 방향의 길이가 모두 줄어드는가?”를 먼저 확인해야 한다. 기본 문제에서는 교선에 평행한 방향의 길이는 그대로 유지되고, 그에 수직인 방향만 cos60°배가 된다. 따라서 넓이 전체의 배율도 cos60° 한 번이며, 6·cos60°=3cm²가 된다.

두 방향에 cos를 곱한 풀이에서 확인할 점

예를 들어 6cos²60°=3/2라고 계산했다면, 오답 하나만으로 개념을 완전히 이해하지 못했다고 단정할 수는 없다. 그림의 겉모양만 보고 두 방향이 모두 평행하게 줄어든다고 추정했는지, 정사영에서 길이의 배율과 넓이의 배율을 혼동했는지를 나누어 살핀다. 짧은 확인 질문은 “교선에 평행한 방향 길이까지 줄어드는가?”이다. 학생은 그림에서 교선을 표시하고, 도형의 한 방향이 교선과 나란한지 직접 확인한 뒤 수직 방향에만 cos60°를 붙여야 한다. 공간의 두 직선은 만나지 않는다는 이유만으로 평행이라고 할 수 없으므로, 위치 관계도 표시하며 판단한다.

정사영의 정의와 수정 풀이

정사영은 도형의 각 점에서 대상 평면에 수직인 방향으로 내린 발들이 모인 도형이다. 두 평면의 교선 방향은 사영 과정에서도 길이가 유지되고, 평면에 수직인 방향의 길이만 cos60°배가 된다. 교사는 중간 결과인 “한 방향은 유지, 다른 방향은 1/2배”를 함께 확인하되, 최종 판단은 학생이 문장으로 쓰게 한다. 그러면 학생은 사영 넓이를 6·cos60°=3cm²로 다시 계산한다. cos60°=1/2이므로 원래 넓이보다 작다는 점도 부분 검산으로 확인할 수 있다. 이 계산은 특정 수치에만 맞는 요령이 아니라, 평면 사이의 예각이 θ일 때 넓이의 배율이 cosθ가 된다는 일반적인 관계에 따른다.

조건을 바꾸어 다시 적용하는 방법

풀이와 정답을 가린 채 문제의 넓이 6cm², 평면 사이의 각, 정사영 넓이를 구한다는 범위만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 도형의 평면과 사영 평면이 수직인 경우를 생각한다. 평면 사이 각이 90°이면 면적 배율은 cos90°=0이므로 정사영 넓이는 6·0=0cm²이다. 도형의 모든 점을 사영하면 두 평면의 교선 방향에 놓여 이차원 넓이가 사라진다. 예각 60°에서 3cm²가 나오던 것과 직각 90°에서 0cm²가 나오는 것은 표현만 바꾼 결과가 아니라 실제 조건이 달라진 결과다. 다시 풀 때는 “교선에 평행한 방향 길이까지 줄어드는가?”에 답할 근거를 고르고, 꼭짓점 좌표나 대상 평면에 대한 수선의 발을 먼저 표시한 뒤 수정 풀이와 정답을 독립적으로 적는다. 이후 같은 문제의 도형 표현만 바꾼 경우와 각도 조건 자체를 바꾼 경우를 구분해 다음 풀이에서 배율을 한 번 적용하는지 확인한다.