송도국제도시 고등수학과외

급수 수렴을 말로 설명할 때는 “부분합의 극한이 급수의 합이다”라고 답하면서도, 식에 적용하는 순간 일반항의 극한과 부분합의 극한을 뒤섞기 쉽다. 이번 미적분Ⅱ 수업에서는 부분합에서 일반항을 복원하는 과정을 통해 두 값을 구별해 본다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 먼저 전달하기보다, 학생이 어떤 극한을 계산하고 있는지 직접 표시하게 하며 풀이의 기준을 확인한다.

부분합의 극한을 일반항의 극한으로 바꾼 오답

문제는 부분합이 Sₙ=2−1/(n+1), n≥1인 급수에서 급수의 합과 lim(n→∞)aₙ을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “급수의 합이 2이므로 일반항도 2로 간다”라고 쓸 수 있다. 그러나 이 문장에는 부분합 Sₙ의 극한과 일반항 aₙ의 극한을 같은 값으로 본 오류가 들어 있다.

먼저 Sₙ의 극한은 2이므로 급수의 합은 2이다. 다음으로 n≥2에서 aₙ이 두 부분합의 어떤 차인지 말해 보게 한다. 학생이 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁이라고 답했다면 처음 적은 식에 실제로 대입해 대조한다. aₙ=(2−1/(n+1))−(2−1/n)=1/n−1/(n+1)=1/[n(n+1)]이다. 따라서 일반항의 극한은 0이며, 2가 될 수 없다.

조건과 식을 직접 대조해 수정하기

교사는 급수의 합이 부분합 Sₙ의 극한이라는 기준과, 첫 항이 0이 아닌 등비급수는 |r|<1일 때 a/(1−r)로 합을 구한다는 조건을 비교해 준다. 다만 공식값을 바로 고르게 하지 않고, 학생이 먼저 부분합의 일반식과 항의 형태를 확인하게 한다. 첫 항은 별도로 계산해야 하므로 a₁=S₁=2−1/2=3/2이다.

학생은 “급수의 합은 2, 일반항의 극한은 0”이라고 수정한다. 검산할 때는 a₁=3/2와 n≥2에서의 항을 부분적으로 더해 주어진 부분합을 복원한다. 처음 세 항은 a₁=3/2, a₂=1/6, a₃=1/12이므로, 3/2+1/6+1/12+…로 시작한다. n≥2에서 일반항을 1/n−1/(n+1)로 쓰면 Sₙ=3/2+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/n−1/(n+1))=2−1/(n+1)이 된다. 주어진 조건이 다시 만들어지므로 계산과 답의 선택이 일치한다.

표현이 달라져도 같은 기준으로 재적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 aₙ=1/[n(n+1)], n≥1인 급수의 합을 구하게 한다. “aₙ→0이므로 합은 0”이라고 썼다면, 일반항이 0으로 가는 것은 수렴에 필요한 조건이지만 합이 0이라는 결론과 동치가 아님을 확인한다. 이는 같은 표현을 반복한 문제가 아니라, 항에서 부분합을 구하는 방향으로 조건이 바뀐 경우다.

학생은 1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)로 변형하고, Sₙ=1−1/(n+1)을 얻는다. 따라서 Sₙ의 극한은 1이므로 급수의 합은 1이다. 일반항은 0으로 가지만 부분합은 1로 간다는 점을 나란히 적으면 두 극한이 구별된다. 교사의 설명을 덮은 뒤 처음 오답을 스스로 고치고, “n≥2에서 aₙ은 두 부분합의 어떤 차인가?”에 답하면서 이 문제의 풀이까지 맞히면 다음 점검으로 넘어간다. 이후에도 부분합의 식, 정의된 범위, 공비의 절댓값 조건을 먼저 확인한 뒤 공식값을 적용한다.